‎

Galileo, İki Yeni Bilim, 3. Gün, Doğal İvmeli Hareketler, Teorem 1, Önerme 1 - Analiz

               C
    G____A     |
    |..._| H   |     
    |..__|     |
    |.___|     |
  I |____|     |
   _|____|     |
  __|____|     |
 ___|____|     |
____|____|     |
E   F    B     |
               D

Özet

Bu analiz, Galileo'nun eseri İki Yeni Bilim’in (1638) 3. Günü’nde yer alan, Düzgün İvmeli Hareketler Teorem 1, Önerme 1’i incelemektedir. İnceleme, bir cismin hareketsizlikten başlayarak düzgün ivmeli hareketle kat ettiği mesafenin, ulaştığı son hızın yarısıyla yapılan sabit hızlı hareketle aynı sürede kat edilen mesafeye eşit olduğunu gösteren geometrik ispatı ele almaktadır. Analiz, Galileo’nun ispatının arkasındaki temel mantığı açıklarken, aynı zamanda Galileo’nun "hız momentumları" gibi kullandığı kavramları ve zamanın sürekliliği varsayımı gibi kavramsal zorlukları da tartışmaya açmaktadır.

Teorem

Bir cismin hareketsizlikten başlayarak düzgün ivmeli hareketle bir mesafeyi katetmesi için geçen zaman, aynı cismin, önceki düzgün ivmeli harekette ulaşılan son (en büyük) hızın yarısı ile yapılan düzgün hızlı hareketle aynı mesafeyi kat etmesi için geçen zamana eşittir.

\(AB\) doğru parçası, \(C\) noktasındaki hareketsizlikten başlayan düzgün ivmeli hareketle \(CD\) mesafesinin kat edildiği zamanı göstersin.
\(AB\) üzerindeki herhangi bir biçimde çizilen \(EB\) doğrusu ise, \(AB\) zamanı boyunca, ivme nedeniyle artmış olan hızların en büyük ve son derecesini göstersin.
\(AB\) üzerindeki her bir noktadan \(AE\) doğrusuna, \(BE\)’ye paralel olarak çizilen doğrular, \(A\) anından itibaren artan hız derecelerini temsil eder.
Şimdi \(BE\) doğru parçasını \(F\) noktasında iki eşit parçaya bölüyorum; \(F\)’den \(FG\) ve \(A\)’dan \(AG\) doğrularını sırasıyla \(BA\)’ya ve \(BF\)’ye paralel olarak çiziyorum.
Böylece \(AGFB\) paralelkenarı oluşur; bu paralelkenar \(AEB\) üçgenine eşittir, ayrıca \(GF\) kenarı \(AE\)’yi \(I\) noktasında ikiye böler.
Eğer \(AEB\) üçgenindeki paralelleri \(IG\)’ye kadar uzatırsak, böylece paralelkenar içinde kalan tüm paralellerin toplamı, \(AEB\) üçgeni içindekilerin toplamına eşit olur.
Çünkü \(IEF\) üçgenindeki paraleller, \(GIA\) üçgenindekilerle eşleşir; \(AIFB\) yamuk kısmındaki paraleller ise her iki durumda da ortaktır.
Zamanın \(AB\) doğrusu üzerindeki her bir anı ve tüm anları yine \(AB\) doğrusu üzerindeki her bir noktaya ve tüm noktalara karşılık geldiğinden; bu noktalardan çizilen ve \(AEB\) üçgeninin içinde kalan paraleller artmakta olan hızın artan derecelerini temsil ederken, paralelkenarın içinde kalan paraleller ise, aynı şekilde, arttırılmamış, düzgün (sabit) hızın aynı sayıda derecelerini temsil eder.
Dolayısıyla, \(AEB\) üçgeninin artan paralelleriyle temsil edilen ivmelenen harekette tüketilen hız momentumlarının (hız derecelerinin) sayısı, \(GB\) paralelkenarının paralelleriyle temsil edilen düzgün (sabit hızlı) hareketteki momentumların sayısına tam olarak eşittir.
Çünkü ivmelenen hareketin ilk yarısındaki momentum açığı (\(AGI\) üçgenindeki paralellerle temsil edilen momentumların eksik kalması), \(IEF\) üçgeninin paralelleriyle temsil edilen momentumlar tarafından telafi edilir.
Bu nedenle, biri hareketsizlikten başlayarak düzgün şekilde ivmelenen bir hareketle ilerleyen, diğeri ise ivmelenen hareketin ulaştığı maksimum hızın (son hızın) momentumunun (hız derecesinin) yarısına eşit bir momentuma sahip düzgün (sabit hızlı) bir hareketle ilerleyen iki hareketli cismin, aynı sürede eşit mesafeler kat edeceği aşikârdır; ki kanıtlanmak istenen önerme de buydu.

İspat

Galileo'nun ispatı \(AEB\) üçgeninin içindeki hız derecelerinin \(AGFB\) paralelkenarının içindeki hız dereceleri ile aynı olduğunu göstermeye dayanıyor.
Paralelkenarın içindeki hız dereceleri sabit, yani zaman içinde değişmiyorlar, sabit hızla düşen bir cisim düşünüyoruz.
Üçgenin içindeki hız dereceleri ise giderek artıyor. \(EB\) en yüksek hız derecesi oluyor.
Şekle baktığımızda \(AIFB\) yamuğu hem üçgene hem de paralelkenara ortak.
\(IEF\) üçgeni ile \(AIG\) üçgeni birbirleri ile aynı, yani bu üçgenlerin içindeki hız dereceleri aynı.
\(IEF\) üçgeni paralelkenarın dışında, yani fazla, \(AGI\) ise eksik. \(AGI\) üçgenini (boş üçgen, hız derecesi yok) \(IEF\) üçgeni ile tamamlıyoruz ve paralelkenarın hız çizgileri ile üçgenin hız çizgilerinin aynı olduğunu görüyoruz.
Galileo hız dereceleri aynı olduğuna göre bu iki hareket aynı zamanda aynı mesafeleri geçer diyor ve teorem ispatlanmış oluyor.

Sorular

Momentum ve hız sorunu

Galileo \(EB\)'ye paralel çizdiği çizgilere önce "hız dereceleri" diyor ama sonra aynı çizgilere "hız momentumları" da diyor.
Galileo'nun ne demek istediği tam olarak anlaşılamıyor ama bu konu bence teoremin ana fikrini etkilemiyor.
Konuyu daha derinlemesine incelemek isteyenler bu sayfaya bakabilir

Sabit hızlı hareket doğada yoktur

Galileo sabit ivmeli hareketi kolay olarak inceleyebilmek için daha basit olan sabit hızlı bir hareket varsayıyor.
Böyle bir hareket doğada yoktur, yani ivmesiz serbest düşüş yoktur ama hayali veya matematiksel bir hareket olarak çok işe yarıyor.

\(AB\) zaman çizgisinin noktalardan meydana gelmiş olması

Galileo, "Zamanın \(AB\) doğrusu üzerindeki her bir anı ve tüm anları yine \(AB\) doğrusu üzerindeki her bir noktaya ve tüm noktalara karşılık geldiğinden…" diyor.
Yani zaman çizgisi \(AB\) sonsuz noktalardan meydana geliyor ve noktalar da zamanın anlarına tekabül ediyor. Galileo böyle bir varsayım yapıyor.
Ama buna gerek var mı? \(AB\) bir zaman aralığı ve bu zaman aralığını 8 eşit parçaya bölüyoruz ve herbirinde düşen cismin anlık hızını işaretliyoruz.
Teorem için önemli olan üçgenin içindeki hız çizgileri ile paralelkanarın içindeki hız çizgilerinin aynı olması.