‎

Galileo, Düzgün İvmeli Hareketler, Teorem 2, Önerme 2 - İnceleme

Özet

Bu makale, modern mekaniğin kurucusu Galileo Galilei'nin İki Yeni Bilim Diyaloğu eserinde yer alan Düzgün İvmeli Hareketler, Teorem 2, Önerme 2'nin ispatını incelemektedir. İspat, hareketin temel kuralını, yani hareketsizlikten başlayan düzgün ivmeli harekette kat edilen mesafelerin, geçen sürelerin kareleri oranında (\(d \propto t^2\)) olduğunu geometrik olarak kanıtlar. Galileo'nun Ortalama Hız Teoremi'ne ve Öklid'in oranlar geometrisine dayanan bu çalışma, hız-zaman grafiği altındaki alanın mesafeyi temsil ettiği ilkesini ortaya koyarak, diferansiyel hesap öncesi dönemde fiziksel yasaların matematiksel kesinlikle formüle edilmesine öncülük etmiştir.

                     H
           A         |         
          /|         - L
       O /_| D       |
        /  |         |
     P /___| E       - M
      /    |         |
     /_____| F       |
    /      |         |
   /_______| G       - N
  /        |         |
 /         |         |
C          B         |
                     |
                     - I

Klasik bir teorem

Giriş

Galileo'nun en meşhur buluşunu açıkladığı teorem, yani serbest düşüşte mesafeler geçen sürelerin karesine orantılıdır.
Şekilde, \(HI\) çizgisi düşülen mesafeleri gösteriyor. \(AB\) çizgisi de zaman aralıklarını gösteriyor. Yani \(AD\) zaman aralığında \(HL\) mesafesi geçiliyor, \(AE\) zaman aralığında \(HM\) mesafesi geçiliyor.
Düzgün ivmeli harekette hız, zamanla doğrusal olarak artar. Bu artış \(AC\) doğrusunun eğimi ile gösterilir. İlk zaman aralığında ulaşılan son hız olan \(OD\) aynı zamanda ivmeyi temsil eder. Her zaman aralığı sonunda hız \(OD\) kadar artmış olur. \(OD\) ve \(PE\) çizgileri ilgili sürelerin sonunda ulaşılan anlık hızlardır.
Galileo mesafelerin oranının zamanların oranının karesine eşit olduğunu göstermek istiyor yani\[\frac{HM}{HL}=\left (\frac{AE}{AD}\right )^2\] veya,\[\frac{HM}{HL}=\frac{AE}{AD}\times \frac{AE}{AD}\]

İspat

Galileo'nun ispatını şöyle özetleyebiliriz:

Sabit ivmeli hareket

Sabit ivmeli hareketin formülünü şu şekilde yazıyoruz:\[v = at\]veya Galileo'nun dilinde hızların ve zamanların oranları olarak yazarsak\[\frac{v_1}{v_2}=\frac{a}{a}\cdot\frac{t_1}{t_2}\]ve \(a\) sabit olduğu için eleniyor\[\frac{v_1}{v_2}=\frac{t_1}{t_2}\]
Galileo'nun şeklinde hızlar \(PE\) ve \(OD\) ve zamanlar \(AE\) ve \(AD\) olduğuna göre\[\frac{PE}{OD}=\frac{AE}{AD}\]olmuş oluyor.
Yani hızların oranı zamanların oranını eşit.

Ortalama hızla düzgün hareket

Teorem 1'de Galileo düzgün ivme ile geçilen mesafeyi ortalalama hızla düzgün düşen bir hareketle açıklamanın mümkün olduğunu göstermişti. Teorem 1 diyor ki:

Düzgün ivmeli hareketin sonunda vardığı maksimum hızın yarısı ile düzgün hareketle düşen bir cisim aynı mesafeyi ivmeyle düşen cisimle aynı zamanda kat eder.

Düzgün hareketin formülü\[\text{mesafe}=\text{hız}\times\text{zaman}\] Galileo'nun sembollerini kullanarak yazarsak\[\frac{HM}{HL} = \frac{PE}{OD}\times\frac{AE}{AD}\]

Sonuç

Şimdi (7)'deki değişimi yapalım, yani\[\frac{PE}{OD}\Rightarrow\frac{AE}{AD}\]\[\frac{HM}{HL} = \frac{AE}{AD}\times\frac{AE}{AD}\]veya\[\frac{HM}{HL}=\left (\frac{AE}{AD}\right )^2\]ve mesafelerin zamanların karesine orantılı olduğu sonucu çıkıyor.

Mesafelerin alanlara eşit olduğu

Galileo'nun şeklini yatay olarak Hız-Zaman grafiği olarak gösterebiliriz:

                     ^
                     |
+                    |
    +    P           | Hız
         +     O     |
         |     +     |
         |     |     |
<--------+-----+-----+ A
         E     D
         Zaman

Düzgün harekette hız sabit olduğu için hızı zaman eksenine paralel ve \(O\) noktasından geçen bir çizgi olarak gösterebiliriz.
Düzgün harekette mesafe\[\text{mesafe}=\text{hız}\times\text{zaman}\]olduğu için bu dikdörtenin alanı \(\text{hız}\times\text{zaman}\) olacaktır, yani \(OD\times AD\).
Yani, sabit hızlı harekette \[\text{mesafe}=OD \times AD\].
Düzgün ivmeli harekette ise hız düzgün olarak arttığı için birinci zaman diliminde \(ODA\) üçgeni ve ikinci zaman diliminde \(PEA\) üçgeni oluşacaktır. Bu üçgenlerin alanları da düzgün ivmeli hareketin mesafeleri olacaktır.
Alanları şöyle hesaplayabiliyoruz\[\frac{\text{Alan}_{ODA}}{\text{Alan}_{PEA}}=\frac{1/2 \cdot AD\cdot OD}{1/2\cdot EA\cdot PE}=\frac{AD\cdot OD}{EA\cdot PE}\]
Mesafelerin oranını da şöyle yazabiliriz:\[\frac{LH}{MH}=\frac{OD\times AD}{PE\times EA}\Rightarrow \frac{AD}{EA}\times \frac{OD}{PE}\]yani mesafeler ile alanlar aynı.

Galileo'nun sözü ile bitirelim

Mesafelerin oranı, sürelerin oranının kendisiyle bileşimidir (duplicate ratio)