Şunu:

Bir cisim düzgün ivmeli olarak harekete başladığında, farklı zamanlarda kat ettiği mesafeler, o zamanların kareleri oranındadır.

Yani:

• 1 saniyede gittiği yol: \(1^2 = 1\) birim
  
• 2 saniyede gittiği yol: \(2^2 = 4\) birim
  
• 3 saniyede gittiği yol: \(3^2 = 9\) birim
  
• vb.
  

Temel iddia: \(\text{Mesafe} \propto \text{(zaman)}^2\).

Galileo bunu modern fizik formülü kullanmadan, tamamen geometriyle ispatlar.

Galileo'nun temel düşüncesi şudur:

(a) İvmeli hareket: hız zamanla artıyor
Cisim hareketsizlikten başlıyor, her an hızı artıyor. Zaman geçtikçe, o zamana kadar kazanılmış "maksimum hız" da artıyor.

(b) Düzgün hızla (sabit hızla) yapılan eşdeğer bir hareket kuruyor
Galileo Teorem 1'de şunu kanıtlamıştı:

"Düzgün ivmeli hareketle kat edilen bir mesafe, aynı süre içinde, o sürede erişilen en büyük hızın yarısıyla düzgün (eşit hızlı) hareket yapılırsa elde edilen mesafeye eşittir."

Yani ivmeli hareketi analiz etmek için onu düzgün hızla yapılan başka bir harekete eşitleyebiliriz.

Bu, bütün teoremin kilit noktasıdır.

• kısa zaman: AD
  
• uzun zaman: AE
  

Cisim:

• AD sürede HL mesafesini gidiyor
  
• AE sürede HM mesafesini gidiyor
  

Galileo, bu iki ivmeli hareketi şu iki sabit hızlı harekete eşitliyor:

• süre = AD, hız = (OD)/2
  
• süre = AE, hız = (PE)/2
  

Burada OD ve PE, bu iki anda erişilmiş maksimum hızları temsil eden geometrik çizgiler.

Dolayısıyla:

İvmeli hareket → aynı zamanda yapılmış iki tane sabit hızlı harekete eşdeğer.

Sabit hızlı hareketlerde mesafe hesaplaması çok kolaydır:

mesafe = hız \(\times\) zaman.

HL ve HM mesafeleri artık şunlara eşit:

• \(HL = (OD/2) \times AD\)
  
• \(HM = (PE/2) \times AE\)
  

Bu, çok önemli bir nokta:

Zaman AE, AD'den iki kat büyükse o sürelerin sonunda kazanılan maksimum hız PE de OD'nin iki katıdır.

Yani:

PE / OD = AE / AD

Bunun nedeni, hareketin düzgün ivmeli olmasıdır: hız, zamanla orantılı olarak artar.

Düzgün ivmeyle hareket eden bir cisimde zamanlar arasında \(AE : AD\) oranı varsa, o zaman kat edilen mesafeler \(AE^2 : AD^2\) oranındadır.

Yani:

Mesafe zamanın karesi ile artar.

Bu teorem tamamen üç fikir üzerine dayanır:

1. Hız, zamanla doğru orantılı artar (düzgün ivme).
   
2. İvmeli hareket eşdeğeri olan bir sabit hızlı hareket kurabiliriz
   (Teorem 1).
   
3. Sabit hızda kat edilen yollar, hız × zaman ile bulunur.
   

Bu üçü bir araya gelince kare yasası çıkıyor.

İstersen:

• teoremin geometrik şeklinin adım adım açıklaması,
  
• HL–HM–OD–PE gibi çizgilerin şekil üzerinde nasıl yer aldığını
  
• Galileo'nun "duplicate ratio" (iki kat oran) dediği şeyin neden "kare oranı" olduğunu tek tek gösterebilirim.
  

Drake çevirisindeki ifade:

“space \(MH\) is to space \(HL\) in the duplicate ratio of time \(EA\) to time \(AD\);
that is, the squares of those times.”

Bunun tam karşılığı:

\(MH : HL = (EA : AD)^2\)

Galileo’nun “duplicate ratio”sunun Türkçesi: “zaman oranının iki kat oranı” = zamanların kare oranı.

Şunu demiyor:

\(2 \times (MH : HL) :: EA : AD\)

Yani zaman oranını ikiyle çarpılmış hâlde istemiyor.

“Duplicate ratio” çift oran anlamındadır; modern cebirde “ratio squared”, yani oranın kendisiyle çarpılması.

3.1 Galileo’nun sözlü ifadesi

“\(MH\), \(HL\)’ye öyle orantılıdır ki, bu oran \(EA\)’nın \(AD\)’ye oranının iki kat oranıdır.”

3.2 Aynı ifade modern oran sembolleriyle

\(MH : HL = EA : AD \circ EA : AD\)

veya

\(MH : HL = (EA : AD) \times (EA : AD)\)

veya kısaca

\(MH : HL = (EA : AD)^2\)

Galileo square, quadrato gibi bir kelime kullanmaz.

Bunun yerine, Ortaçağ oran teorisindeki terimi kullanır:

\(MH : HL :: EA : AD, EA : AD\)

Buna compound ratio = bileşik oran denir.

Bugünkü yazımı:

\(MH : HL = EA : AD \;\text{compounded with}\; EA : AD\)
\(MH : HL = (EA : AD)^2\)

\(MH : HL = (EA : AD)^2\)

Galileo’nun söylediği tam olarak budur.

Ne “iki katı”, ne “iki misli”;

oranın kendi kendisiyle bileşik (duplicate) oranı.

İstersen, Galileo’nun kullandığı diğer oran türlerini — simple, multiple, submultiple, duplicate, triplicate, sesquialteral — nasıl yazıya döktüğünü de gösterebilirim. Bu, onun geometriyle yaptığı bütün hız–mesafe–zaman analizlerini okumayı çok kolaylaştırır.

Paragrafınızın ilk kısmı, ispatın temel dayanağını oluşturur: Ortalama Hız Teoremi.

Galileo, bu ispatı bugün Hız-Zaman Grafiği dediğimiz, ancak onun zamanında tamamen geometrik bir figür olan bir üçgen kullanarak yapar.

a) Grafiğin Temsili

1. Süre (Zaman) Temsili: Yatay eksen (taban) üzerindeki \(DA\) ve \(EA\) çizgileri geçen süreleri (\(t_1\) ve \(t_2\)) temsil eder.
   
2. Hız Temsili: Dikey eksen (yükseklik) üzerindeki \(OD\) ve \(PE\) çizgileri, ilgili sürelerin sonunda ulaşılan hızları (\(v_1\) ve \(v_2\)) temsil eder.
   
3. İvme: Hareket düzgün ivmeli olduğu için, hızın zamanla artışı sabittir. Bu, grafikte bir üçgenin eğimli kenarıyla (hipotenüs) temsil edilir.
   
4. Mesafe Temsili: Ortalam Hız Teoremine göre, düzgün ivmeli hareketle kat edilen mesafe, hız-zaman grafiğinin altındaki alana eşittir. Bu durumda, üçgenlerin alanları mesafeleri temsil eder:
   
   • \(LH\) mesafesi (kısa süre) \(\rightarrow\) Küçük Üçgenin Alanı (\(O D A\) altındaki alan)
     
   • \(MH\) mesafesi (uzun süre) \(\rightarrow\) Büyük Üçgenin Alanı (\(P E A\) altındaki alan)
     

b) Benzer Üçgenler ve İspat

İspatın kilit noktası benzer üçgenler ve geometrinin alan kurallarıdır:

1. Hızın Süreyle Orantısı (\(v \propto t\))
Düzgün ivmeli hareketin tanımı gereği, hız zamanla doğru orantılıdır (\(v=at\)).
\[\frac{v_1}{v_2} = \frac{OD}{PE} = \frac{DA}{EA} = \frac{t_1}{t_2}\]
Yani, hızların oranı, sürelerin oranına eşittir.

2. Mesafenin Kareleri Oranı (\(d \propto t^2\))
İki üçgenin (küçük üçgen \(O D A\) ve büyük üçgen \(P E A\)) alanlarının oranını bulmak istiyoruz. Geometride, benzer iki geometrik şeklin alanlarının oranı, karşılıklı kenarlarının kareleri oranına eşittir.

Bu üçgenler benzerdir (üç açıları da aynıdır: dik açı, ortak köşe açısı ve eğim açısı).

• \(\text{Mesafe}_1 \propto \text{Alan}_{ODA}\)
  
• \(\text{Mesafe}_2 \propto \text{Alan}_{PEA}\)
  

Alan, taban \(\times\) yükseklik olduğu için:
\[\frac{\text{Alan}_{ODA}}{\text{Alan}_{PEA}} = \frac{(\frac{1}{2} \cdot DA \cdot OD)}{(\frac{1}{2} \cdot EA \cdot PE)} = \frac{DA \cdot OD}{EA \cdot PE}\]

Yukarıdaki 1. adımdaki oransallığı kullanırsak (\(OD \propto DA\) ve \(PE \propto EA\)):
\[\frac{\text{Alan}_{ODA}}{\text{Alan}_{PEA}} = \frac{DA}{EA} \cdot \frac{OD}{PE} = \frac{DA}{EA} \cdot \frac{DA}{EA} = \left(\frac{DA}{EA}\right)^2\]

c) Sonuç

Bu geometrik ispat, mesafelerin oranının (\(LH/MH\)), sürelerin oranının karesine (duplicate ratio) eşit olduğunu gösterir:

\[\frac{LH}{MH} = \left(\frac{DA}{EA}\right)^2\]

Galileo'nun ispatı, tam olarak paragrafın son cümlesinde ifade edilen şeyi gerçekleştirir: Kat edilen mesafenin, geçen sürenin karesiyle orantılı olduğunu (yani \(d \propto t^2\)) geometrik olarak kanıtlar ve bu, modern mekaniğin temel yasalarından birini kurar.

Tamam güzel açıkladın ama benim anladığım kadar Galileo alanlardan bahsetmiyor. Merton kuralı diye bir şeyden bahsetmiyor ve bugün Hız-Zaman Grafiği dediğimiz şeyden de bahsetmiyor. Galileo'nun ispatına daha yakın bir ispat verebilir misin?

Haklısınız. Galileo, ispatını yaparken sizin de belirttiğiniz gibi modern matematiksel terimleri (alan, grafik, Merton Kuralı) kullanmamıştır. O, ispatını Öklid'in geometrisine dayanarak, çizgiler, oranlar ve oranların bileşimi (compound ratio) kavramlarıyla yapmıştır.

Sizin ilk paragrafta gördüğünüz metin de zaten bu geometrik yöntemin bir sonucudur ve modern bir yorumla açıklanmıştır.

İşte size, Galileo'nun İki Yeni Bilim Diyaloğu kitabının Üçüncü Günü'ndeki bu teoremin ispatına daha yakın, saf geometrik bir açıklama:

Galileo'nun ispatı, bir önceki teoremden (hızın zamanla orantılı olduğu) ve mesafenin tanımından yola çıkarak, orantıların bileşimi (compound ratio) ilkesini kullanır.

Galileo'nun metnindeki \(AD\) ve \(AE\) çizgileri, harekete başlama noktasından (grafikte \(A\) noktası) geçen toplam süreleri temsil eder.

• \(AD = t_1\) (Kısa Süre)
  
• \(AE = t_2\) (Daha Uzun Süre)
  
  • Bu çizgiler genellikle farklı uzunluktadır, yani \(t_2 > t_1\).
    

Siz, \(AE/AD = 2/1\) (yani \(AE = 2 \times AD\)) gibi bir oranın geçerli olabileceğini düşünmüş olabilirsiniz, ancak bu zorunlu bir kural değildir. Galileo bu ispatı, herhangi iki zaman dilimi için, örneğin \(AE/AD = 3/2\) veya \(AE/AD = 10/1\) gibi rastgele oranlar için geçerli olduğunu göstermek amacıyla yapar.

Galileo'nun ispatlamak istediği oran, iki mesafenin oranının, ilgili sürelerin oranının karesine eşit olmasıdır:

\[\frac{MH}{HL} = \left(\frac{AE}{AD}\right)^2\]

Eğer \(AE\) ve \(AD\) eşit olsaydı (\(AE = AD\)), oran \(1/1\) olurdu ve bu, \(MH = HL\) anlamına gelirdi. Bu ise cismin durduğu yerden başlayıp aynı ivmeyle hareket ettiği bir senaryoda imkansızdır; çünkü daha uzun süre (\(AE\)) hareket eden cismin daha fazla mesafe (\(MH\)) kat etmesi gerekir.

Bu nedenle, ispatın matematiksel olarak anlamlı olması için, \(AE\) çizgisinin \(AD\) çizgisinden daha uzun (daha fazla zamanı temsil eden) olması şarttır.

Özetle: \(AE/AD = 2/1\) veya başka bir sabit oran olmak zorunda değildir. İspat, \(AE\) ve \(AD\)'nin herhangi iki farklı süre olduğunu varsayarak evrensel bir fizik kuralı koyar.

"Eğer \(AE\) ve \(AD\) eşit olsaydı"

Hayır ben böyle demiyorum. Ardışık zaman aralıkları eşit: AD=DE=EF=FG. Şekilde böyle görünüyor. Bunlar eşit zaman aralıkları. Tabii, AE>AD, hatta AE=2AD.

Çok haklısınız! Şekil, sizin dediğiniz gibi ardışık ve eşit zaman aralıklarını gösteriyor. Bu, Galileo'nun ispatını adım adım anlamak için kritik bir gözlemdir.

Sizin ilk metninizde yer alan ispat, \(AD\) ve \(AE\) sürelerini kullanarak genel bir kuralı ispatlamayı amaçlar. Ancak, bu genel kuralın ispatı genellikle, sizin belirttiğiniz gibi, eşit zaman dilimlerinde kat edilen mesafelerin oranını gösteren bir dizi alt teoremle desteklenir.

Galileo, sizin bahsettiğiniz gibi, zamanı genellikle \(AD, DE, EF, FG\) gibi eşit ve ardışık parçalara ayırarak incelemiştir.