Eşit uzunluktaki ancak eğimleri farklı düzlemler üzerindeki hareket süreleri, bu düzlemlerin yüksekliklerinin oranının karekökü ile ters orantılıdır.

1. Yani,\[\frac{t_{BA}}{t_{BC}}=\frac{BD}{BI}\]
   
2. Aynı B bitiş noktasından başlayan, eşit uzunlukta ancak farklı eğimlere sahip BA ve BC düzlemleri olsun; BD düşey doğrusuna AE ve CD yatay doğruları çizilsin. BA düzleminin yüksekliği BE, BC düzleminin yüksekliği ise BD olsun.
   
3. Ve BI, bu DB ve BE yüksekliklerinin orta orantılısı (geometrik ortalaması) olsun; buradan DB'nin BI'ya oranının, DB'nin BE'ye oranının karekökü olduğu sonucu çıkar.
   
4. Orta orantılı ilişkisini yazalım:
   

\[\frac{DB}{BI}=\frac{BI}{BE}\]
\[BI=\sqrt{DB\cdot BE}\]
\[\frac{DB}{\cancel{BI}}\cdot\frac{\cancel{BI}}{BE}=\frac{DB}{BE}\]
\(BI/BE \Rightarrow DB/BI\) değişimini yap
\[\frac{DB}{BI}\cdot\frac{DB}{BI}=\frac{DB}{BE}\]
\[\left ( \frac{DB}{BI}\right )^2=\frac{DB}{BE}\]
«\(\ldots\) buradan DB'nin BI'ya oranının, DB'nin BE'ye oranının karekökü olduğu sonucu çıkar.»
\[\boxed{\frac{DB}{BI}=\frac{\sqrt{DB}}{\sqrt{BE}}}\]
(\(\sqrt{DB}/\sqrt{BE}\) = yüksekliklerin oranı.)

5. Şimdi diyorum ki, BA ve BC düzlemleri üzerindeki iniş veya hareket sürelerinin oranı, DB'nin BI'ya olan ters oranıyla aynıdır: yani BA üzerindeki sürenin karşılığı (homoloğu) diğer düzlemin yüksekliği olan BD'dir ve BC üzerindeki sürenin karşılığı BI'dır:\[\frac{t_{BA}}{t_{BC}} = \frac{\sqrt{BD}}{\sqrt{BE}}=\frac{BD}{BI}\]
   
6. Bu nedenle, BA üzerindeki sürenin BC üzerindeki süreye oranının, DB'nin BI'ya oranı gibi olduğu kanıtlanmalıdır.
   
7. DC'ye paralel IS doğrusunu çizin; daha önce kanıtlandığı üzere, BA üzerinden iniş süresinin düşey BE üzerinden düşüş süresine oranı BA'nın BE'ye oranı gibidir.
   
8. Teorem 3'ü kullanarak: "Yükseklikleri aynı olan rampalarda süreler rampa uzunlukları ile doğru orantılıdır."\[\frac{t_{BA}}{t_{BE}}=\frac{BA}{BE}\]
   
9. BE üzerindeki sürenin BD üzerindeki süreye oranı ise BE'nin BI'ya oranı gibidir;
   
10. Teorem 2, Sonuç 2'yi kullanarak: "Serbest düşüşte süreler mesafelerin karekökü ile orantılıdır." Yani, kinematik formülü, \(s\propto t^2\) ve \(\sqrt{s}\propto t\) kullanarak,\[\frac{t_{BE}}{t_{BD}}=\frac{BE}{BI}\]
    
11. ve BD üzerindeki sürenin BC üzerindeki süreye oranı, BD'nin BC'ye oranı veya BI'nın BS'ye oranı gibidir. Yani,\[\frac{t_{BD}}{t_{BC}}=\frac{BI}{BS}\]Burada benzer üçgenleri kullanıyoruz. IS ve CD paralel çizildiği için BIS ve BDC üçgenleri benzer oluyor ve (A) \[\frac{BD}{BC}=\frac{BI}{BS}\]Teorem 3'ten,\[\frac{t_{BD}}{t_{BC}}=\frac{BD}{BC}\](A)'daki değişimi yap:\[\frac{t_{BD}}{t_{BC}}=\frac{BD}{BC}=\frac{BI}{BS}\]ve\[\frac{t_{BD}}{t_{BC}}=\frac{BI}{BS}\]
    
12. Çıkardığımız oranları birleştirerek devam ediyoruz (ex aequali).
    
13. Elimizde 3 tane oran var:
    

\[\frac{t_{BA}}{t_{BE}}=\frac{BA}{BE}\]
\[\frac{t_{BE}}{t_{BD}}=\frac{BE}{BI}\]
\[\frac{t_{BD}}{t_{BC}}=\frac{BI}{BS}\]
bu orantıları çarpalım, yani ex aequali uygulayalım:
\[\frac{t_{BA}}{t_{BE}}\cdot \frac{t_{BE}}{t_{BD}}\cdot \frac{t_{BD}}{t_{BC}} = \frac{t_{BA}}{t_{BC}}\]
\[\frac{BA}{BE}\cdot \frac{BE}{BI}\cdot \frac{BI}{BS} = \frac{BA}{BS}\]
\[\boxed{\frac{t_{BA}}{t_{BC}}=\frac{BA}{BS}}\]

14. Son olarak:
    

Rampalar eşit: \(BA=BC\)

Yukarda ex aequali sonucu:

\[\frac{t_{BA}}{t_{BC}}=\frac{BA}{BS}\]
\(BA=BC\) olduğuna göre
\[\frac{t_{BA}}{t_{BC}}=\frac{BC}{BS}\]
Benzer üçgenlerden \(BC/BS=BD/BI\) ve değişimi yap
\[\frac{t_{BA}}{t_{BC}}=\frac{BD}{BI}\]
İspatlanmak istenen de buydu.