Teorem: Eşit uzunluktaki ancak eğimleri farklı düzlemler üzerindeki hareket süreleri, bu düzlemlerin yüksekliklerinin oranının karekökü ile ters orantılıdır.

1. Aynı B bitiş noktasından başlayan, eşit uzunlukta ancak farklı eğimlere sahip BA ve BC düzlemleri olsun; BD düşey doğrusuna AE ve CD yatay doğruları çizilsin. BA düzleminin yüksekliği BE, BC düzleminin yüksekliği ise BD olsun.
   
2. Ve BI, bu DB ve BE yüksekliklerinin orta orantılısı (geometrik ortalaması) olsun; buradan DB'nin BI'ya oranının, DB'nin BE'ye oranının karekökü olduğu sonucu çıkar.
   
3. Şimdi diyorum ki, BA ve BC düzlemleri üzerindeki iniş veya hareket sürelerinin oranı, DB'nin BI'ya olan ters oranıyla aynıdır; yani BA üzerindeki sürenin karşılığı (homoloğu) diğer düzlemin yüksekliği olan BD'dir ve BC üzerindeki sürenin karşılığı BI'dır.
   
4. Bu nedenle, BA üzerindeki sürenin BC üzerindeki süreye oranının, DB'nin BI'ya oranı gibi olduğu kanıtlanmalıdır.
   
5. DC'ye paralel IS doğrusunu çizin; daha önce kanıtlandığı üzere, BA üzerinden iniş süresinin düşey BE üzerinden düşüş süresine oranı BA'nın BE'ye oranı gibidir; BE üzerindeki sürenin BD üzerindeki süreye oranı ise BE'nin BI'ya oranı gibidir; ve BD üzerindeki sürenin BC üzerindeki süreye oranı, BD'nin BC'ye oranı veya BI'nın BS'ye oranı gibidir.
   
6. Dolayısıyla, oranların eşitliği yoluyla, BA üzerindeki sürenin BC üzerindeki süreye oranı, BA'nın BS'ye oranı veya CB'nin BS'ye oranı gibi olacaktır; ayrıca CB'nin BS'ye oranı DB'nin BI'ya oranı gibidir; dolayısıyla önerme doğrulanmış olur.
   

Galileo'nun geometrik dille anlattığı şeyi biz bugün cebirsel olarak çok daha hızlı ifade edebiliyoruz. Galileo aslında şunu söylüyor: Eğer elimizde iki farklı rampa varsa ve bunların uzunlukları (\(L\)) eşitse, iniş süreleri (\(t\)) yüksekliklerin (\(h\)) karekökü ile ters orantılıdır.

1. Fiziksel Formülasyon
Sürtünmesiz bir eğik düzlemde ivme \(a = g \sin(\theta)\) şeklindedir. Burada \(\sin(\theta) = \frac{h}{L}\) olduğuna göre ivmeyi şöyle yazabiliriz:
\[a = g \frac{h}{L}\]

2. Süre Hesabı
Sabit ivmeli hareket denklemini (\(x = \frac{1}{2}at^2\)) kullanarak, rampanın tamamını katetmek için gereken süreyi bulalım (\(x = L\)):
\[L = \frac{1}{2} \left( g \frac{h}{L} \right) t^2\]

Buradan \(t^2\) değerini çekersek:
\[t^2 = \frac{2L^2}{gh}\]

Her iki tarafın karekökünü aldığımızda:
\[t = L \sqrt{\frac{2}{gh}}\]

3. Orantı Analizi
Eğer \(L\) (rampa uzunluğu) ve \(g\) (yerçekimi ivmesi) sabitse:
\[t \propto \frac{1}{\sqrt{h}}\]

Yani, iki farklı rampa (\(BA\) ve \(BC\)) için sürelerin oranı şöyledir:
\[\frac{t_{BA}}{t_{BC}} = \sqrt{\frac{h_{BC}}{h_{BA}}}\]

Galileo'nun zamanında henüz modern cebirsel notasyon tam oturmadığı için, karekök alma işlemini geometrik olarak ifade ediyordu. Metindeki \(BI\), \(BD\) ile \(BE\) arasındak orta orantılıdır, yani \(BI = \sqrt{BD \cdot BE}\).

Galileo'nun ulaştığı sonuç olan \(\frac{t_{BA}}{t_{BC}} = \frac{BD}{BI}\), aslında bizim modern formülümüzdeki \(\sqrt{\frac{h_2}{h_1}}\) ifadesinin aynısıdır:
\[\frac{BD}{BI} = \frac{BD}{\sqrt{BD \cdot BE}} = \sqrt{\frac{BD}{BE}}\]

Yani Galileo, sadece geometri kullanarak bugün bizim Newtonyen mekanikle ulaştığımız sonuca kusursuz bir şekilde ulaşmıştır.

Beşinci teoreme mi geçiyoruz, yoksa bu geometrik ispatın üzerinde durmak istediğin bir ayrıntısı var mı?

Galileo'nun teoremin orijinal metninde "karekök" (square root) yerine kullandığı terim şudur:

> "Subdupla ratione" (veya tam haliyle subduplicata ratio)

Latince metindeki ifadeye tekrar bakalım:
"…sunt inter se in *subdupla ratione elevationum eorumdem planorum permutatim accepta."*

Bu ifadeyi kelimesi kelimesine şöyle analiz edebiliriz:

• Subdupla ratione: Oranların karekökü (subduplicate ratio).
  
• Elevationum: Yüksekliklerin.
  
• Permutatim accepta: Tersinden alınmış (inversely taken).
  

Yani Galileo "karekök" demiyor, "oranın karekökü" (subduplicate ratio) diyor. 17. yüzyıl bilim dilinde "subdupla" terimi, iki nicelik arasındaki oranın karekökünü ifade etmek için kullanılan standart Öklidci terimdir.

"Neden daha önce 'orta orantılı' diyordu da şimdi 'subdupla' diyor?" soruna gelirsek: Galileo aslında yeni bir şey söylemiyor, sadece geometrik inşa ile matematiksel ilişkiyi birbirinden ayırıyor.

Terim	Anlamı	Kullanım Amacı
Media Proportionalis (Orta Orantılı)	\(a:x = x:b\) ilişkisindeki \(x\) çizgisi.	İnşa (Construction): Pergel ve cetvelle bu değerin nasıl "çizileceğini" gösterir.
Subdupla Ratio (Karekök Oranı)	\(x = \sqrt{a \cdot b}\) matematiksel ilişkisi.	Tanım (Definition): Değişkenler arasındaki "soyut ilişkiyi" ifade eder.

Galileo Neden Bu Geçişi Yapıyor?

1. Genelleme: Galileo, 1. ve 2. teoremde genellikle bir "çizginin" (zaman veya yol) fiziksel inşasından bahsediyordu. Orada "orta orantılıyı bulun" demek, "şu çizgiyi çizin" demektir.
   
2. Kural Koyma: 4. Teorem bir genel kural (yasa) niteliğindedir. Galileo burada bir çizim talimatı vermekten ziyade, doğadaki bir oran yasasını (zamanlar ile yükseklikler arasındaki ilişkiyi) tanımlıyor. Bu yüzden Öklid'in Elemanlar kitabındaki (5. Kitap) "oranlar dili"ne geçiş yapıyor.
   
3. Modernleşme Sinyali: Galileo her ne kadar sıkı bir geometrici olsa da, İki Yeni Bilim'in özellikle bu bölümlerinde cebirsel düşünceye çok yaklaşır. "Subdupla ratio" ifadesini kullanarak, okuyucunun zihninde sadece bir "çizgi" değil, matematiksel bir "kuvvet/derece" (karekök) fikri uyandırır.
   

Aslında kullandı! Ancak bunu geometrik ispatların içinde değil, kitabın Birinci Gün (First Day) kısmındaki o meşhur "Sonsuzluk ve Kare Sayılar" tartışmasında (Galileo Paradoksu) kullanır. Orada sayısal örnekler verirken:

> "Her sayı bir karenin köküdür (radice)" diyerek "radix" kelimesini telaffuz eder.

Ancak iş "Doğal Olarak Hızlanan Hareketler"e (Üçüncü Gün) ve resmi geometrik ispatlara geldiğinde, Aristo ve Öklid geleneğine sadık kalarak daha ağırbaşlı olan "subdupla ratio" terimine geri döner.

Kısacası; Crew ve Drake gibi çevirmenler, modern okuyucunun "subduplicate ratio" (oranın karekökü) ifadesinden kafası karışmasın diye bunu doğrudan "square root" olarak Türkçeye veya İngilizceye çevirirler. Galileo’nun zihninde ise bu hala "geometrik bir oran"dır.

Beşinci teoremle devam edelim mi, yoksa bu terimlerin başka bir nüansını deşelim mi?