Farklı eğim ve uzunluktaki, yükseklikleri ise eşit olmayan düzlemler üzerindeki iniş sürelerinin oranı; bu düzlemlerin uzunluklarının oranı ile yüksekliklerinin kareköklerinin ters oranının bileşiminden oluşur.

1. Eğimleri, uzunlukları ve yükseklikleri farklı AB ve AC düzlemleri olsun; iddia ediyorum ki, AC üzerindeki iniş süresinin AB üzerindeki süreye oranı, AC'nin AB'ye oranı ile yüksekliklerin kareköklerinin ters oranının bileşimidir.
   

İspatlanmık istenen:

\[\frac{t_{AC}}{t_{AB}}=\frac{AC}{AB}\cdot\frac{\sqrt{AG}}{\sqrt{AD}}\]

2. BG ve CD yatay doğrularıyla kesişen dikey AD doğrusunu çizelim ve DA ile AG yükseklikleri arasındaki orta orantılı AL olsun.
   

(1)
\[\frac{DA}{AL}=\frac{AL}{AG}\]

• AL, yükseklikler DA ve AG arasında orta orantılı
  

\[AL = \sqrt{DA\cdot AG}\]

3. L noktasından yatay bir paralel çizerek AC düzlemini F noktasında kestirelim; bu durumda AF, CA ve AE arasında orta orantılı olacaktır.
   

(2)
\[\frac{CA}{AF}=\frac{AF}{AE}\]

• Benzer üçgenlerden, AF, CA ve AE arasında orta orantılı
  

\[AF = \sqrt{CA\cdot AE}\]

4. AC süresinin AE süresine oranı FA'nın AE'ye oranı gibi…
   

(3)

• Teorem 2, Sonuç 2'den [*]
  

\[\frac{t_{AC}}{t_{AE}}=\frac{FA}{AE}\]

…AE süresinin AB süresine oranı da AE'nin AB'ye oranı gibi olduğundan;

(4)

• Teorem 3'den (yükseklikler aynıysa, zaman yollara oranlı)
  

\[\frac{t_{AE}}{t_{AB}}=\frac{AE}{AB}\]

AC süresinin AB süresine oranının AF'nin AB'ye oranı olduğu sonucu çıkar.

Galileo burada AB ve AC yollarını ve sürelerini direk kıyaslamak yerine ikisini de AE'ye kıyaslayarak bir köprü kurmuş oluyor: AC \(\rightarrow\) AE ve AE \(\rightarrow\) AB. Daha sonra AE eleniyor.
(5)

Yukardaki (3) ve (4)'ü çarpalım ve AE'leri eleyelim:

\[\frac{t_{AC}}{\cancel{t_{AE}}}\times \frac{\cancel{t_{AE}}}{t_{AB}}= \frac{FA}{\cancel{AE}}\times\frac{\cancel{AE}}{AB}\]

\[\frac{t_{AC}}{t_{AB}}=\frac{FA}{AB}\]

5. Böylece geriye, AF'nin AB'ye oranının, CA'nın AB'ye oranı ile DA ve AG yüksekliklerinin kareköklerinin tersi olan GA'nın AL'ye oranının bileşimi olduğunu kanıtlamak kalır.
   

İspatlanmak istenen:

\[\frac{FA}{AB}=\frac{AC}{AB}\cdot\frac{AG}{AL}\]

6. Fakat bu da aşikardır: Eğer CA, FA ve AB'ye göre ele alınırsa; FA'nın AC'ye oranı, LA'nın AD'ye veya GA'nın AL'ye oranı ile aynıdır ki bu da GA ve AD yüksekliklerinin oranının kareköküdür;
   

Benzer üçgenlerden:

\[\frac{AF}{AC}=\frac{AL}{AD}=\frac{AG}{AL}\]

CA'nın AB'ye oranı ise [karşılık gelen] uzunlukların oranıdır; dolayısıyla önerme geçerlidir.

Zaten, (5)'de sürelerin oranının \(AF/AB\)'ye orantılı olduğunu bulmuştuk,

AC, AB ve AF arasında orta orantılıysa

\[\frac{AF}{AB}=\frac{AC}{AB}\times \frac{AF}{AC}\]

Değişimi yap (AF/AC \(\Rightarrow\) AG/AL)

\[\frac{AF}{AB}=\frac{AC}{AB}\times \frac{AG}{AL}\]

ve

\[\frac{t_{AC}}{t_{AB}}=\frac{FA}{AB}\]

olduğundan, teorem ispatlanmış olur:

\[\frac{t_{AC}}{t_{AB}}=\frac{AC}{AB}\times \frac{AG}{AL}\]

Veya, modern karekök sembolü ile yazarsak,

\[\frac{t_{AC}}{t_{AB}}=\frac{AC}{AB}\times \frac{\sqrt{AG}}{\sqrt{AD}}\]

[*] Teorem 2, Sonuç 2'ye göre, (Teorem 5'e uygulanmış olarak) Galileo orta orantılı orantısının, yani, AC : AF = AF : AE orantısından başyalarak ya \(t_{AC}/t_{AE} = AF/AE\) yazabilir veya \(t_{AC}/t_{AE} = AC/AF\) yazabilir, ilerde sadeleştirmek için Galileo ilkini seçiyor.