Galileo burada süreyi sadece uzunluğa değil, aynı zamanda eğime (yüksekliğe) bağlar.

1. Farklı eğimlere, farklı uzunluklara (\(AC\) ve \(AB\)) ve farklı dikey yüksekliklere (\(CD\) ve \(BG\)) sahip iki düzlemimiz olsun. İspat etmek istediğimiz şudur: \(AC\) üzerindeki iniş süresinin \(AB\) üzerindeki süreye oranı, yolların uzunluk oranının (\(AC/AB\)) ile yüksekliklerin kareköklerinin ters oranının (\(\sqrt{h_2}/\sqrt{h_1}\)) çarpımına eşittir.
   
2. Dikey bir \(AD\) hattı çizelim; bu hat \(B\) ve \(C\) noktalarından geçen yatay doğruları kessin. Yükseklik farklarını belirlemek için \(DA\) ve \(AG\) yükseklikleri arasında bir "orta orantılı" (geometrik ortalama) olan \(AL\) hattını bulalım. Yani \(DA/AL = AL/AG\).
   
3. \(L\) noktasından yatay bir çizgi çekip \(AC\) düzlemini \(F\) noktasında kestirelim. Bu durumda \(AF\), \(CA\) ve \(AE\) arasında orta orantılı olur.
   
4. Daha önceki teoremlerden biliyoruz ki: \(AC\) süresinin \(AE\) süresine oranı \(AF/AE\) kadardır. Yine biliyoruz ki \(AE\) süresinin \(AB\) süresine oranı \(AE/AB\) kadardır. Bunları birleştirdiğimizde, \(AC\) süresinin \(AB\) süresine oranı doğrudan \(AF/AB\) çizgilerinin oranına çıkar.
   
5. Geriye şunu göstermek kalıyor: \(AF/AB\) oranı, uzunlukların oranı (\(CA/AB\)) ile yüksekliklerin kareköklerinin ters oranının (\(GA/AL\)) bileşimidir.
   
6. Bu da aslında aşikardır: \(FA/AC\) oranı, yüksekliklerin karekökü olan \(LA/AD\) (veya \(GA/AL\)) oranına eşittir. Uzunluk oranı (\(CA/AB\)) ile bu "kök" oranını çarptığımızda (\(CA/AB \times FA/AC\)), \(AC\)'ler sadeleşir ve sonuç \(AF/AB\) olur. Böylece teorem ispatlanır.
   

Modern fizikte bu teoremi kinematik denklemlerle çok daha hızlı görebiliriz. Bir düzlem üzerindeki ivme \(a = g \cdot \sin(\theta)\)’dır. Burada \(\sin(\theta) = h/L\) (yükseklik / uzunluk) olduğuna göre:

\[a = g \frac{h}{L}\]

Alınan yol denklemi \(L = \frac{1}{2} a t^2\) olduğundan, süreyi (\(t\)) yalnız bırakalım:

\[L = \frac{1}{2} (g \frac{h}{L}) t^2 \implies t^2 = \frac{2L^2}{gh} \implies t = L \sqrt{\frac{2}{gh}}\]

Şimdi iki farklı düzlem (\(L_1, h_1\) ve \(L_2, h_2\)) için sürelerin oranına bakalım:

\[\frac{t_1}{t_2} = \frac{L_1 \sqrt{\frac{2}{gh_1}}}{L_2 \sqrt{\frac{2}{gh_2}}}\]

Sadeleştirmeleri yaptığımızda:

\[\frac{t_1}{t_2} = \left( \frac{L_1}{L_2} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{h_2}}{\sqrt{h_1}} \right)\]

Sonuç:

• Oran 1: Uzunlukların oranı (\(L_1 / L_2\)).
  
• Oran 2: Yüksekliklerin kareköklerinin ters oranı (\(\sqrt{h_2} / \sqrt{h_1}\)).
  

Galileo'nun "compounded" (bileşik) dediği şey tam olarak bu iki oranın çarpımıdır. Yani bir cismin iniş süresi; yol uzadıkça doğru orantılı olarak artar, dikey yükseklik (eğim) arttıkça ise kareköküyle ters orantılı olarak azalır.

Dördüncü paragraftaki geometrik sadeleştirme (hareketsizlikten başlayan hareketlerde sürenin yolun kareköküyle olan ilişkisi), Galileo'nun bu karmaşık yapıyı sadece çizgilerle çözmesini sağlıyor. Bu teorem, mekaniğin geometriden cebire geçişindeki en kritik basamaklardan biridir.

1. Farklı eğimlere, farklı uzunluklara (\(AC\) ve \(AB\)) ve dikey eksen üzerinde farklı yüksekliklere (\(AD\) ve \(AG\)) sahip iki düzlemimiz olsun. İspat etmek istediğimiz şudur: \(AC\) üzerindeki iniş süresinin \(AB\) üzerindeki süreye oranı, yolların uzunluk oranının (\(AC/AB\)) ile yüksekliklerin kareköklerinin ters oranının (\(\sqrt{AG}/\sqrt{AD}\)) bileşimidir (çarpımıdır).
   
2. Dikey bir \(AD\) hattı çizelim; bu hat \(B\) ve \(C\) noktalarından gelen yatay \(BG\) ve \(CD\) doğrularıyla kesişsin. Böylece \(AB\) düzleminin dikey yüksekliği \(AG\), \(AC\) düzleminin dikey yüksekliği ise \(AD\) olur. Şimdi bu iki yükseklik arasında bir "orta orantılı" (geometrik ortalama) olan \(AL\) hattını bulalım. Yani \(DA/AL = AL/AG\) olsun.
   
3. \(L\) noktasından yatay bir paralel çizip \(AC\) düzlemini \(F\) noktasında kestirelim. Aynı şekilde \(G\) noktasından çizilen yatay doğru da \(AC\)'yi \(E\) noktasında kessin (böylece \(AE\) düzleminin yüksekliği de \(AB\)'ninki gibi \(AG\) olur). Üçgen benzerliklerinden ötürü, \(AF\) çizgisi \(CA\) ve \(AE\) arasında bir orta orantılı haline gelir (\(AF^2 = CA \cdot AE\)).
   
4. Galileo'nun önceki teoremlerine göre: Aynı dikey yüksekliğe (\(AG\)) sahip düzlemlerde iniş sürelerinin oranı, düzlemlerin uzunluklarının oranına eşittir (\(AE\) ve \(AB\) düzlemleri için). Buradan zincirleme bir oran kurarsak: \(AC\) süresinin \(AE\) süresine oranı \(AF/AE\) kadardır. \(AE\) süresinin \(AB\) süresine oranı ise \(AE/AB\) kadardır. Bu iki oranı birbiriyle çarptığımızda (\(AF/AE \times AE/AB\)), \(AE\)'ler sadeleşir ve \(AC\) süresinin \(AB\) süresine oranı doğrudan \(AF/AB\) çizgilerinin oranına eşit çıkar.
   
5. Geriye sadece şunu göstermek kalır: \(AF/AB\) oranı, uzunlukların oranı (\(CA/AB\)) ile yüksekliklerin kareköklerinin ters oranının (\(GA/AL\)) bileşimidir.
   
6. Bu da geometrik olarak artık aşikardır: Yatay paralelliklerden dolayı (\(LF \parallel DC\)), \(AF/AC\) oranı dikey eksendeki \(AL/AD\) oranına eşittir. \(AL\) orta orantılı olduğu için \(AL/AD\) oranı bize yüksekliklerin kareköklerinin ters oranını verir. Elimizdeki uzunluk oranı olan \(CA/AB\) ile bu \(AF/AC\) oranını bileştirdiğimizde (yani çarptığımızda):
   

\[\frac{CA}{AB} \cdot \frac{AF}{AC}\]
\(AC\) çizgileri birbirini götürür ve geriye tam da aradığımız \(AF/AB\) oranı kalır. Böylece önerme kanıtlanmış olur.

*

Bu doğru okuma sayesinde Galileo'nun dikey ekseni (\(AD\)) nasıl bir referans cetveli gibi kullandığı ve \(G\) ile \(L\) noktalarından çizdiği yatay doğrularla eğik düzlemler üzerindeki süreleri dikey yüksekliklerin köklerine nasıl kusursuzca bağladığı net bir şekilde açığa çıkıyor.

1. Farklı eğimlere, farklı uzunluklara (\(AC\) ve \(AB\)) ve farklı dikey yüksekliklere (dikey \(AD\) hattı üzerindeki \(AD\) ve \(AG\)) sahip iki düzlemimiz olsun. İspat etmek istediğimiz şudur: \(AC\) üzerindeki iniş süresinin \(AB\) üzerindeki süreye oranı, yolların uzunluk oranının (\(AC/AB\)) ile yüksekliklerin kareköklerinin ters oranının (\(\sqrt{AG}/\sqrt{AD}\)) bileşimidir.
   
2. Dikey bir \(AD\) hattı çizelim; bu hat \(B\) ve \(C\) noktalarından gelen yatay \(BG\) ve \(CD\) doğrularıyla kesişsin. \(AB\) düzleminin yüksekliği \(AG\), \(AC\) düzleminin yüksekliği ise \(AD\) olur. Şimdi asıl kilit nokta: \(DA\) ve \(AG\) yükseklikleri arasında bir orta orantılı olan \(AL\) hattını bulalım. Yani \(DA/AL = AL/AG\) olacak şekilde bir \(L\) noktası belirleyelim.
   
3. \(L\) noktasından yatay bir paralel çizerek \(AC\) düzlemini \(F\) noktasında kestirelim. Bu geometrik inşa sonucunda \(AF\) çizgisi, \(CA\) ve \(AE\) arasında orta orantılı olur.
   
4. Hareketsizlikten başlayan hareketlerde, \(AC\) üzerindeki sürenin \(AB\) üzerindeki süreye oranının doğrudan \(AF\) hattının \(AB\) hattına oranına (\(AF/AB\)) eşit olduğu, önceki teoremlerden elde edilen bir sonuçtur.
   
5. Geriye, bu \(AF/AB\) oranının neden uzunlukların oranı (\(CA/AB\)) ile yüksekliklerin kareköklerinin ters oranının (\(\sqrt{AG/AD}\)) çarpımı olduğunu göstermek kalır.
   
6. İşte burada \(AL\) çizgisi devreye girer: Geometrik olarak \(AF/AC\) oranı, dikey eksendeki \(AL/AD\) oranına eşittir. \(AL\) bir orta orantılı olduğu için \(AL/AD\) oranı matematiksel olarak \(\sqrt{AG/AD}\) değerine eşittir. Bu oran, yüksekliklerin (\(AG\) ve \(AD\)) oranının kareköküdür. Sonuç olarak:
   \[\frac{AF}{AB} = \frac{AC}{AB} \times \frac{AF}{AC}\]
   Burada \(AF/AC\) yerine az önce bulduğumuz karekök oranını (\(\sqrt{AG/AD}\)) koyarsak, teoremin tam olarak neyi ifade ettiği geometrik olarak ispatlanmış olur.
   

Özetle:
Söylediğin gibi, \(AL\) bir yükseklik değildir. Ancak Galileo, \(AL/AD\) oranını kurgulayarak aslında modern fizikteki \(\sqrt{AG/AD}\) (yüksekliklerin kareköklerinin ters oranı) ifadesini cetveline taşımış olur. Bu sayede karmaşık karekök işlemlerini sadece benzer üçgenlerin kenar oranlarına indirger.

Galileo, \(AC\) düzlemindeki iniş süresi ile \(AB\) düzlemindeki iniş süresini doğrudan kıyaslayamıyor; çünkü hem boyları farklı hem eğimleri farklı. Bu yüzden araya \(AE\) adında hayali bir düzlem sokuyor.

Bu \(AE\) düzlemi, \(AC\) doğrusunun üzerinde bir parçadır ama yüksekliği tam olarak \(AB\) düzleminin yüksekliğiyle (\(AG\)) aynıdır. Şimdi bu köprünün nasıl çalıştığına bakalım:

1. Adım: Aynı Doğru Üzerindeki Hareket (\(AC\) ve \(AE\) kıyaslaması)
Cisim \(AC\) düzleminin tamamını mı daha sürede iner, yoksa sadece üstteki \(AE\) kısmını mı? Aynı eğik düzlemde süreler, yolların kareköküyle orantılıdır.
Galileo \(F\) noktasını öyle bir ayarlamıştı ki, çizgilerin oranı bize doğrudan sürelerin oranını veriyordu:

• \(AC\) süresi / \(AE\) süresi = \(FA / AE\)
  

2. Adım: Aynı Yükseklikteki Hareket (\(AE\) ve \(AB\) kıyaslaması)
Şimdi \(AE\) ile \(AB\)'yi kıyaslıyor. Bu iki düzlemin yükseklikleri eşit (\(AG\)). Galileo daha önceki teoremlerinde ispatlamıştı ki: Yükseklikleri aynı olan düzlemlerde iniş sürelerinin oranı, doğrudan yolların uzunluk oranına eşittir.

• \(AE\) süresi / \(AB\) süresi = \(AE / AB\)
  

3. Adım: Köprüleri Birleştirme (Sadeleştirme)
Şimdi bu iki oranı birbiriyle çarpıyoruz. Tıpkı kesirli sayılarda çarpma yapar gibi:

\[\frac{\text{AC Süresi}}{\text{AE Süresi}} \times \frac{\text{AE Süresi}}{\text{AB Süresi}} = \frac{FA}{AE} \times \frac{AE}{AB}\]

Sol taraftaki AE Süreleri birbirini götürür. Sağ taraftaki pay ve paydadaki \(AE\) çizgileri de birbirini götürür. Geriye ne kalır?

\[\frac{\text{AC Süresi}}{\text{AB Süresi}} = \frac{FA}{AB}\]

• İlk versiyondaki paragraf: Sana yukarıda anlattığım bu 3 adımlı matematiksel sadeleştirmeyi açık açık yazıyordu. \(AE\)'lerin nasıl birbirini götürdüğünü ve geriye nasıl \(FA/AB\) kaldığını gösteriyordu.
  
• Son versiyondaki paragraf: Bu aradaki "çarpma ve sadeleştirme" adımlarını atlayıp, "Önceki teoremlerden zaten biliyoruz ki sonuç doğrudan \(AF/AB\)'ye çıkar" diyerek kestirmeden gidiyordu.
  

Kestirmeden gidince de \(AE\) harfi bir anda ispatın içinden buharlaşmış gibi göründü ve haklı olarak gözünden kaçmadı. Galileo geometrisinin en can sıkıcı tarafı budur; aradaki bir çizgiyi bile atlasak bütün yapı bir anda sihirbazlık numarasına dönüşür.

• \(AC\) düzleminin yüksekliği: \(AD\)
  
• \(AB\) düzleminin yüksekliği: \(AG\)
  

Biz \(AC\) düzlemindeki süreyi \(AB\) düzlemindeki süreye oranladığımız için, eğer ortada bir ters orantı varsa, \(AB\)'nin yüksekliğinin (\(AG\)) paya, \(AC\)'nin yüksekliğinin (\(AD\)) ise paydaya gelmesini bekleriz. Yani aradığımız ters orantılı karekök şudur:

\[\frac{\sqrt{AG}}{\sqrt{AD}}\]

Galileo, 2. paragrafta \(AL\) doğrusunu \(AD\) ve \(AG\) arasında orta orantılı (geometrik ortalama) olarak tanımladı:

\[\frac{AD}{AL} = \frac{AL}{AG}\]

İçler dışlar çarpımı yaparsak:

\[AL^2 = AD \cdot AG \implies AL = \sqrt{AD \cdot AG}\]

Şimdi Galileo'nun ispatın sonunda kullandığı o meşhur \(AL/AD\) oranını alalım ve yukarıda bulduğumuz \(AL\) değerini yerine yazalım:

\[\frac{AL}{AD} = \frac{\sqrt{AD \cdot AG}}{AD}\]

Bu ifadeyi sadeleştirmek için paydadaki \(AD\) ifadesini kök içine \(AD^2\) olarak sokalım:

\[\frac{AL}{AD} = \sqrt{\frac{AD \cdot AG}{AD^2}}\]

Pay ve paydadaki birer tane \(AD\) birbirini götürür:

\[\frac{AL}{AD} = \sqrt{\frac{AG}{AD}} = \frac{\sqrt{AG}}{\sqrt{AD}}\]

Gördüğün gibi, \(AL/AD\) oranı doğrudan \(\frac{\sqrt{AG}}{\sqrt{AD}}\) ifadesine eşit çıktı.

• Üstteki düzlem olan \(AC\)'nin süresini hesaplarken, pay kısmına alttaki düzlemin yüksekliği olan \(AG\) geldi.
  
• Alttaki düzlem olan \(AB\)'nin süresini hesaplarken, payda kısmına üstteki düzlemin yüksekliği olan \(AD\) geldi.
  

Yani harfler takla attı; bu da matematiksel olarak ters orantının (\(inverse\ ratio\)) ta kendisidir. Galileo, henüz ortada karekök sembolü (\(\sqrt{}\)) veya modern cebir yokken, sadece bir \(AL\) çizgisi tanımlayarak bu ters orantılı karekök ilişkisini geometrinin içine kusursuzca hapsetmeyi başarmıştı.

Hatırlarsan, teoremin en başında iddia edilen şey şuydu:

Sürelerin oranı = (Uzunlukların oranı) \(\times\) (Yüksekliklerin kareköklerinin ters oranı)

Yukarda 4. adımda Galileo zaten sürelerin oranının geometrik olarak \(AF/AB\) çizgilerinin oranına eşit olduğunu köprüler kurarak ispatlamıştı. Yani cebimize şu bilgiyi koymuştuk:
\[\frac{\text{AC Süresi}}{\text{AB Süresi}} = \frac{AF}{AB}\]

Şimdi son adımda (6. paragraf) Galileo, elimizdeki bu \(AF/AB\) oranını iki parçaya bölüyor. Tıpkı bizim modern cebirde bir kesri iki kesrin çarpımı olarak yazmamız gibi:
\[\frac{AF}{AB} = \frac{AC}{AB} \times \frac{AF}{AC}\]

Şimdi bu sağdaki iki parçaya bakalım:

1. İkinci Parça (\(\frac{AF}{AC}\)): Galileo az önce bunun dikey eksendeki \(AL/AD\) çizgisine, yani yüksekliklerin kareköklerinin ters oranına (\(\sqrt{AG/AD}\)) eşit olduğunu gösterdi.
   
2. Birinci Parça (\(\frac{AC}{AB}\)): İşte Crew'un "uzunlukların kendisi" dediği yer tam olarak burasıdır! \(AC\) ve \(AB\) çizgileri, başka hiçbir yardımcı çizgiye ihtiyaç duymadan, başlangıçta bize verilen eğik düzlemlerin kendi orijinal uzunluklarıdır.
   

Galileo bu iki parçayı çarptığında (\(AC\)'ler birbirini götürüp geriye \(AF/AB\) kaldığı için) teoremin başındaki iddiayı tam olarak doğrulamış oluyor: Sürelerin oranı (\(AF/AB\)), düzlemlerin kendi uzunluklarının oranı (\(AC/AB\)) ile yüksekliklerin kareköklerinin ters oranının (\(\frac{AF}{AC}\)) çarpımından (bileşiminden) oluşmuştur. "Dolayısıyla önerme geçerlidir."

Drake’in köşeli parantez içinde `[corresponding]` yani `[karşılık gelen]` yazmasının sebebi, orijinal metinde açıkça belirtilmeyen ama cümlenin gelişinden anlaşılan bir durumu netleştirmektir.

Buradaki "karşılık gelen uzunluklar", kıyasladığımız iki hareketin üzerinde gerçekleştiği \(AC\) ve \(AB\) eğik düzlemlerinin kendi uzunluklarıdır.

• \(AC\) süresine karşılık gelen uzunluk: \(AC\)
  
• \(AB\) süresine karşılık gelen uzunluk: \(AB\)
  

Crew burayı "lengths themselves" (uzunlukların kendisi) diye çevirerek bu çizgilerin \(AF\) veya \(AL\) gibi sonradan uydurulan yardımcı çizgiler değil, düzlemlerin asıl boyları olduğunu vurgulamış. Drake ise "[corresponding] lengths" diyerek, "söz konusu hareketlere karşılık gelen düzlem boyları" demek istemiş. İkisi de tamamen aynı şeyi, yani orijinal üçgenlerin hipotenüsleri olan \(AC\) ve \(AB\) doğrularını kastediyor.

Özetle Galileo son paragrafta şunu diyor: "Bakın dostlar, sürelerin oranı olan \(AF/AB\) kesrini, düzlemlerin asıl boylarının oranı (\(AC/AB\)) ile yüksekliklerin köklerinin oranı (\(AF/AC\)) şeklinde ikiye ayırabiliyorum. Bu ikisini çarptığımda yine sürelerin oranını buluyorum. Demek ki iddiam doğruydu!"

Geometrinin sınırlarını zorlayan bu zinciri tamamladığımıza göre, Teorem 6'ya geçelim mi, yoksa bu formülü somut bir sayısal örnekle tamamen pekiştirmek ister misin?

\(AF\) çizgisi, \(AC\) (uzun yol) ile \(AE\) (kısa yol) arasında bir orta orantılı ise, tanım gereği şu zincirleme oran kurulur:

\[\frac{AC}{AF} = \frac{AF}{AE}\]

Bu zincirleme orantının en güzel özelliği şudur: Bu iki kesir birbirine tıpatıp eşittir. Ve her ikisi de fiziksel olarak bize aynı şeyi, yani \(AC\) ve \(AE\) yollarındaki iniş sürelerinin oranını (\(t_{AC} / t_{AE}\)) verir.

• Teorem 2, Sonuç 2'deki Tercihi: Galileo orada oranı \(\frac{\text{Uzun Yol}}{\text{Orta Orantılı}}\) yani \(\frac{AC}{AF}\) (senin örneğindeki \(\frac{SY}{SX}\)) olarak almayı seçmişti.
  
• Teorem 5'teki Tercihi: Burada ise aynı zincirin ikinci kısmını, yani \(\frac{\text{Orta Orantılı}}{\text{Kısa Yol}}\) olan \(\frac{AF}{AE}\) oranını seçiyor.
  

Tam olarak senin söylediğin "eleme" (sadeleştirme) operasyonunu gerçekleştirebilmek için. 4. adımdaki o meşhur köprü çarpımını hatırlayalım. Galileo iki oranı çarpacaktı:

1. Parça (\(AC\) ve \(AE\) kıyaslaması): Elinde iki seçenek var; ya \(\frac{AC}{AF}\) kullanacak ya da \(\frac{AF}{AE}\).
   
2. Parça (\(AE\) ve \(AB\) kıyaslaması): Bu oran önceki teoremlerden dolayı sabittir ve \(\frac{AE}{AB}\) olmak zorundadır.
   

Şimdi iki seçeneği de yan yana koyup çarpalım ve hangisinde eleme yapabildiğimize bakalım:

> Eğer Teorem 2'deki gibi birinci seçeneği kullansaydı:
> \[\frac{AC}{AF} \times \frac{AE}{AB} = \text{Sadeleşme olmaz, harf çorbası olarak kalır.}\]

> Teorem 5'te yaptığı gibi ikinci seçeneği tercih ettiğinde:
> \[\frac{AF}{\mathbf{AE}} \times \frac{\mathbf{AE}}{AB}\]

Burada paydadaki \(AE\) ile pay kısmındaki \(AE\) birbirini kusursuzca götürür ve geriye sadece \(\frac{AF}{AB}\) kalır.

Galileo, geometrik ispatın bir sonraki adımında başına ne geleceğini (yani \(AE/AB\) ile çarpacağını) bildiği için, daha en baştan hamlesini ona göre yapıyor. Modern cebirde bizim "payda eşitlemek" veya "sadeleştirmeye hazırlamak" için yaptığımız manipülasyonu, o dönemde oranları takla attırarak geometrik olarak yapmış.

Bu detay, Galileo'nun sadece iyi bir gözlemci değil, aynı zamanda geometriyi bir satranç ustası gibi ileriye dönük hamlelerle yöneten bir matematik dehası olduğunu kanıtlıyor. Senin bunu fark etmiş olman ise bu metni ne kadar derinlemesine ve hakkını vererek okuduğunu gösteriyor!