Galileo İki Yeni Bilim kitabında düzgün hareket aksiyomları
Galileo, İki Yeni Bilim kitabında 3 çeşit hareket tanımlıyor:
(1) \(\ldots\) Düzgün veya tekdüze hareket,
(2) \(\ldots\) Doğal olarak hızlanan hareket,
(3) \(\ldots\) Zorunlu hareket ya da fırlatılan şeylerin hareketi.
Biz burada düzgün hareket bölümünü inceliyoruz.
Galileo ilk olarak düzgün hareketten ne anladığını bir tanım olarak veriyor:
Eşit, yani tekdüze hareketi, hareket eden şeyin hangi eşit zaman aralıklarında olursa olsun, kat ettiği kısımları birbirine eşit olan hareket olarak anlıyorum.
Bu tanımdan sonra Galileo 4 tane aksiyom veriyor.
Düzgün hareket aksiyomları
Aksiyom 1
Aynı düzgün harekette, daha uzun zamanda alınan yol daha fazladır. (Sabit hız için)
\[\dfrac{s_1}{s_2} = \dfrac{t_1}{t_2}\]
Aksiyom 2
Aynı düzgün harekette, daha uzun yol için geçen süre daha uzundur. (birincinin ters yönden ifadesi)
\[\dfrac{t_1}{t_2} = \dfrac{s_1}{s_2}\]
Aksiyom 3
Aynı sürede, daha büyük hızla alınan yol daha fazladır.
\[\dfrac{s_1}{s_2} = \dfrac{v_1}{v_2}\]
Aksiyom 4
Aynı sürede daha fazla yol alanın hızı daha büyüktür. (üçüncünün ters yönden ifadesi)
\[\dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{s_1}{s_2}\]
Yorum
- 1 ve 2, “düzgün harekette yol–zaman doğru orantılıdır” ifadesini iki farklı yönden garanti ediyor.
- 3 ve 4, “hız–yol–zaman” ilişkisini kuruyor, özellikle hız tanımını netleştiriyor.
Bütün tabloyu tek bir cümlede şöyle özetleyebiliriz:
\[\text{Sabit hız için: } \frac{s}{t} = v \quad \Rightarrow \quad s \propto t \quad \text{ve} \quad s \propto v\]
Galileo neden bu kadar basit ve aşikar kavramları birer aksiyom olarak yazıyor?
Galileo’nun bu dört aksiyomu “çok basitmiş gibi” görünüyor ama aslında ileride ispatlayacağı teoremleri dayandıracağı matematiksel omurgayı kuruyor.
Eğer bu aksiyomları baştan kesinleştirmese, birisi çıkıp (mesela, Diyaloglar'ın kahramanlarından Simplicio) çıkıp “neden süre ile yol orantılı olsun ki?” ya da “neden daha uzun sürede daha çok yol alınsın?” diye itiraz edebilirdi. Galileo bu tür itirazların önünü almak için, herkesin kabul edeceği en basit gözlemleri “matematik aksiyomu” gibi koyuyor.
Böylece:
- Düzgün hareket = yol ile zamanın orantılı olması,
- Hız kavramı = yol ile zamanın oranı,
şeklinde açık ve tartışmasız hale geliyor.
Bu nokta, Galileo’nun düşünüş tarzını anlamak açısından çok değerli: önce çok temel ve herkesin kabul edeceği aksiyomlarla başlıyor, sonra adım adım yeni kavramları (ivme, serbest düşme kanunları vb.) bu sağlam temeller üzerine inşa ediyor.
Özetin özeti
Aksiyom 1
(Hız sabit)
\[\text{mesafe} \;\propto\; \text{süre}\]
Mesafe süreye doğru orantılıdır.
Daha uzun sürede daha uzun mesafe alınır.
Aksiyom 2
(Aksiyom 1’in ters ifadesi)
(Hız sabit)
\[\text{süre} \;\propto\; \text{mesafe}\]
Süre mesafeye doğru orantılıdır.
Daha uzun mesafe, daha uzun süre gerektirir.
Matematiksel olarak 1’den çıkarılabilir, ama Galileo iki yönlü olarak ifade ederek kesinlik sağlar.
Aksiyom 3
(Süre sabit)
\[\text{mesafe} \;\propto\; \text{hız}\]
Mesafe hızla doğru orantılıdır.
Daha büyük hızla, aynı sürede daha uzun mesafe alınır.
Aksiyom 4
(Aksiyom 3’ün ters ifadesi)
(Süre sabit)
\[\text{hız} \;\propto\; \text{mesafe}\]
Hız mesafeyle doğru orantılıdır.
Aynı sürede daha uzun mesafe alanın hızı daha büyüktür.
Yine 3’ten çıkarılabilir, ama hız tanımını netleştirmek için ayrıca belirtilir.
Sonuç
- 1 ve 2: “mesafe \(\leftrightarrow\) süre” ilişkisini tanımlıyor.
- 3 ve 4: “mesafe \(\leftrightarrow\) hız” ilişkisini tanımlıyor.
Her ikisinde de bir “yön” diğerinden çıkarılabilir, ama Galileo dönemin matematiksel titizliği gereği ikisini de koymuş.
Bu aksiyomlardan sonra Galileo düzgün yani tekdüze hareket ile ilgili 6 tane teorem veriyor. Bundan sonra bu 6 teoremi inceleyeceğiz.