1. Düzgün hareketlerle ilgili ilk üç teoremde Galileo, böyle bir denklemle yazmıyor ama, bildiğimiz bu ilişkiyi kullanıyor:\[\textbf{zaman}=\frac{\textbf{mesafe}}{\textbf{hız}}\]
   
2. Teorem 1'de Galileo hızı sabit tutuyor ve "hız sabit olursa, zamanlar mesafelere orantılıdır" diyor:\[\frac{T_1}{T_2}=\frac{D_1}{D_2}\] Ne kadar uzun mesafe o kadar uzun zaman. Veya, \((\textbf{zaman}\propto \textbf{mesafe})\)
   
3. Teorem 2'de Galileo zamanı sabit tutuyor ve "mesafe hıza orantılıdır" diyor:\[\frac{D_1}{D_2}=\frac{V_1}{V_2}\] Hız arttıkça mesafe artıyor. Veya, \((\textbf{hız}\propto \textbf{mesafe})\)
   
4. Teorem 3'de mesafeyi sabit tutuyor ve "sabit mesafe için zamanlar hızlarla ters orantılıdır" diyor:\[\frac{T_1}{T_2}=\frac{V_2}{V_1}\] Aynı mesafeyi katetmek için gereken zamanlar hızlarla ters orantılıdır. Hız artınca zaman kısalır. Veya, \((\textbf{zaman} \propto \frac{1}{\textbf{hız}})\)
   

5. Önce terimleri tanımlayalım:\[t_A, t_B : \text{zamanlar}\]\[s : \text{sabit mesafe}\]\[v_A, v_B :\text{hızlar}\]\[t_A=\frac{s}{v_A}\]\[t_B=\frac{s}{v_B}\]
   
6. Buradan kolayca aynı mesafe için zamanlarla hızların ters orantılı olduğunu gösterebiliriz:\[\frac{t_A}{t_B}=\frac{s/v_A}{s/v_B}=\frac{s}{v_A}\cdot\frac{v_B}{s}=\frac{v_B}{v_A}\]
   
7. Yani aynı mesafe için hızlar ve zamanlar ters orantılıdır.
   
8. Galileo, oranlarla çalıştığı için bu şekilde ispatlamıyor. Şimdi Galileo'nun ispatına bakalım.
   

9. Galileo teoremi şöyle ifade ediyor:
   

Aynı mesafede, fakat eşit olmayan hızlarla yapılan hareketlerde, zamanlar ile hızlar ters orantılıdır.

10. Yani, \[t\propto\frac{1}{v}\]
    
11. Galileo:
    

Şöyle olsun: \(A\) daha büyük, \(B\) daha küçük iki hız olsun. Her birine göre aynı mesafe \(CD\) boyunca bir hareket yapılsın. Diyorum ki, hız \(A\)'nın \(CD\) mesafesini katetmek için harcadığı zaman, hız \(B\)'nin aynı mesafeyi katetmek için harcadığı zamana oranla, hız \(B\)'nin hız \(A\)'ya oranı kadardır.

12. Galileo'nun sembollerini basitleştirmek için, \(CD=s\), \(CE=s'\) diyelim, o zaman, Galileo'nun ifadesi şöyle yazılabilir:\[\frac{t_A(s)}{t_B(s)}=\frac{v_B}{v_A}\]
    
13. Fakat böyle yazmaya gerek yok, çünkü zaten mesafe \(s\) sabit:\[\frac{t_A}{t_B}=\frac{v_B}{v_A}\] Yani Galileo, mesafe sabit olduğunda zamanların hızlarla ters orantılı olduğunu ispat etmek istiyor.
    
14. Galileo bu şekli kullanıyor:
    

<-------s'------>
C________________E______D
<------------s--------->

15. Bizim sembolleri kullanarak ifade edersek:
    

Diyelim ki \((s)\)'nin \((s')\)'ne oranı \(v_A\)'nin \(v_B\)'nin oranına eşittir.

Yani, mesafeler hızlarla orantılı:\[\frac{s}{s'}=\frac{v_A}{v_B}\]

16. Yani, aynı süre içinde \(v_A\) \(s\) mesafesini katediyor, \(v_B\) de \(s'\) mesafesini katediyor.
    
17. Galileo:
    

O halde, bir önceki teoreme göre, \(v_A\)'nın \(s\) mesafesini katetmek için harcadığı zaman, \(v_B\)'nin \(s'\) mesafesini katetmek için harcadığı zamana eşittir.

18. Yani, \[t_A(s) = t_B(s')\]
    
19. Galileo:
    

Ama \(v_B\)'nin \(s'\) mesafesini katetmek için harcadığı zaman, aynı hızın \(s\) mesafesini katetmek için harcadığı zamana oranı, \(s'\)'ın \(s\)'ye oranı kadardır. O halde, \(v_A\)'nın \(s\) mesafesini katetmek için harcadığı zamanın, \(v_B\)'nin aynı mesafeyi katetmek için harcadığı zamana oranı, \(s'\)'nün, \(s\)'ye oranına, yani \(v_B\)'nin, \(v_A\)'ya oranına eşittir. Bu da istenen şeydi.

20. Aşağıda bu son paragrafa daha detaylı bakıyoruz.
    

20. Mesafeler hızlarla orantılı \(\textbf{(B)}\): \[\frac{s}{s'}=\frac{v_A}{v_B}\]
    
21. Veya:\[s=\frac{v_A}{v_B}\,s'\]
    
22. Buradan, \(t_A(s) = t_B(s')\) ilişkisi çıkıyor:\[t_A(s) = \frac{s}{v_A}=\frac{v_A/v_B\;s'}{v_A}=\frac{s'}{v_B}=t_B(s')\]
    
23. Yani, \(v_A\)'nın \(s\) mesafesini geçişi, \(v_B\)'nin \(s'\) mesafesini geçişine eşittir.
    
24. Devam: \(\textbf{(C)}\) \[\frac{t_B(s')}{t_B(s)}=\frac{s'}{s}\]
    
25. Yani, \(v_B\)'nin \(s'\) ve \(s\) mesafelerini geçme zamanları mesafelerin oranlarına eşittir.
    
26. Önceki adımda \(t_A(s) = t_B(s')\) yazmıştık.\(\textbf{(C)}\)'de \(t_B(s')\)'ı \(t_A(s)\) ile değiştir.\[\frac{t_A(s)}{t_B(s)} = \frac{s'}{s}\]
    
27. \(\textbf{(B)}\)'yi kullan ama ters çevir:\[\frac{s'}{s}=\frac{v_B}{v_A}\]
    
28. Değiştir:\[\frac{t_A(s)}{t_B(s)}=\frac{v_B}{v_A}\]
    
29. Yani, zamanlar hızlarla ters orantılıdır. Q.E.D
    
30. Galileo bayağı uzun bir yoldan zamanların hızlarla ters orantılı olduğunu ispatlamış oldu. Ancak klasik geometrinin kesinlik anlayışına bağlı kalmak istemesi, teoremini oranlar ve orantılarla ispatlamasını zorunlu kılıyordu.