‎

Galileo, İki Yeni Bilim, Düzgün Hareketler, Teorem 4

Türkçe (Chatgpt çevirisi)

Önerme IV – Teorem IV

Eğer iki hareketli cisim düzgün hareket ediyorsa fakat hızları eşit değilse, o hâlde bu cisimlerin eşit olmayan sürelerde katettikleri yolların oranı, hızların oranı ile zamanların oranının bileşik oranına eşittir.

(Drake’in 7 numaralı dipnotu):
Burada (ve Galileo’nun matematiği fiziğe uyguladığı diğer yerlerde olduğu gibi) Arşimetçi “bileşik oran” kavramı temel bir öneme sahiptir; bkz. Giriş, Sözlük, İkinci Gün’e ait 9 numaralı not, ayrıca s. 210 ve 220.

   |-
   | A_____________
E <                G_________________
   | C_______
   |-
                   I___________

   |-
   | B_________
F <                L________
   | D______
   |-

İki hareketli cisim \(E\) ve \(F\) düzgün hareket etsin. \(E\) cisminin hızı ile \(F\) cisminin hızı arasındaki oran \(A : B\), ve \(E\)’nin hareket ettiği zaman ile \(F\)’nin hareket ettiği zaman arasındaki oran \(C : D\) olsun.

İddia ediyorum ki, \(E\) cisminin hız \(A\) ile zaman \(C\) boyunca katettiği yolun, \(F\) cisminin hız \(B\) ile zaman \(D\) boyunca katettiği yola oranı, hız \(A : B\) oranı ile zaman \(C : D\) oranının bileşik oranına eşittir.

\(E\) cisminin, hız \(A\) ile zaman \(C\) süresince katettiği yol \(G\) olsun. \(G\)’nin, \(I\) adlı başka bir büyüklüğe oranı, hız \(A\)’nın hız \(B\)'ye oranına eşit olsun; ve \(I\)’nın, \(L\)’ye oranı da zaman \(C\)’nin zaman \(D\)’ye oranına eşit olsun.

Buna göre, \(I\) büyüklüğü, \(F\) cisminin, \(E\)’nin \(G\) yolunu aldığı aynı zaman içinde katettiği yol olur; çünkü \(G\) ve \(I\) yolları, hızlar \(A\) ve \(B\) ile orantılıdır.

Ve madem ki \(I : L = C : D\) ve \(I\), \(F\) cisminin zaman \(C\)’de katettiği yoldur, öyleyse \(L\), \(F\)’nin zaman \(D\) boyunca hız \(B\) ile katettiği yoldur.

Dolayısıyla \(G : L\) oranı, \(G : I\) oranı ile \( I : L\) oranının bileşik oranıdır; yani hız \(A : B\) oranı ile zaman \(C : D\) oranının bileşiminden oluşur.

Böylece önerme kanıtlanmış olur.

Yorum

Galileo sabit hızla hareket eden bir cisim için hız ve zamanın çarpımının mesafeyi verdiğini ispatlamak istiyor, yani,\[\textbf{mesafe}=\textbf{hız}\times\textbf{zaman}\]
Galileo sabit hızla hareket eden \(E\) ve \(F\) cisimlerini alıyor.
\(E\) ve \(F\), \(v_E, v_F\) hızları ile \(t_E, t_F\) zamanlarında \(s_E, s_F\) yollarını kat ediyorlar.
Galileo diyor ki, kat edilen yolların oranı, hızların oranı ile zamanların oranının bileşimine eşittir, yani,\[\frac{s_E}{s_F}=\frac{v_E}{v_F}\circ\frac{t_E}{t_F}\]
Galileo sadece geometrik büyüklüklerle çalıştığı için ve birim ve sayı kullanmadığı için çarpma yapamıyor.
Galileo için, şekilde de görüldüğü gibi, hız, mesafe, zaman sadece birer çizgi olarak ifade ediliyor. Bu çizgiler bir sayı ile veya bir birimle ilişkilendirilmedikleri için bunlarla aritmetik işlemler yapılamaz.
Bugün biz \(\text{mesafe}=\text{hız}\times\text{zaman}\) yazabiliyoruz çünkü, "fizik" dediğimiz kendi içinde tutarlı bir birimler sistemiz var. Bu sebepte, "70 km" bölü "1 saat" yazıp hızın "saatte 70 kilometre" olduğunu söylebiliyoruz.

Galileo'nun ispatı

Galileo önce \(F\) cisminin \(E\) cisminin zamanı olan \(t_E\) süresinde gideceği mesafeyi hesaplıyor:\[s'_F =v_F\cdot t_E\]
Sonra, \(E\)'nin yolu \(s_E\) ile \(s'_F\)'i mukayese ediyor:\[\frac{s_E}{s'_F}=\frac{v_E\cdot t_E}{v_F\cdot t_E}=\frac{v_E}{v_F}\] Burada zamanlar eşit ve \(t_E\)'ler eleniyor\[\frac{s_E}{s'_F}=\frac{v_E}{v_F}\] yani

\[ \boxed{\displaystyle \text{yollar}\propto \text{hızlar} } \]

Bir sonraki adımda Galileo \(s'_F\) ile \(s_F\)'yi mukayese ediyor. Yani \(F\)'nin \(t_E\) zamanında kat ettiği yol ile kendi zamanı \(t_E\)'de kattettiği yolu karşılaştırıyor:\[\frac{s'_F}{s_F}=\frac{v_F\cdot t_E}{v_F\cdot t_F}=\frac{t_E}{t_F}\] Burada da hızlar aynı olduğu için eleniyor ve \[\frac{s'_F}{s_F}=\frac{t_E}{t_F}\] Yani,

\[ \boxed{\displaystyle \text{yollar}\propto \text{zamanlar} } \]

Şimdi galileo oranları birleştirebilir:\[\frac{s_E}{s'_F}\circ\frac{s'_F}{s_F}=\frac{v_E}{v_F}\circ\frac{t_E}{t_F}\]
Burada da ortak terim \(s'_F\) eleniyor ve Galileo'nun ispatı çıkıyor:\[\frac{s_E}{s_F}=\frac{v_E}{v_F}\circ\frac{t_E}{t_F}\]yani

Eğer iki hareketli cisim düzgün hareket ediyorsa fakat hızları eşit değilse, o hâlde bu cisimlerin eşit olmayan sürelerde katettikleri yolların oranı, hızların oranı ile zamanların oranının bileşik oranına eşittir.

Oranların bileşimi

Bileşik oran bir çeşit çarpma, yani sayı ve birim kullanmadan iki oran birleştiriliyor. Bu konu ilginç olduğu için daha sonra detaylı olarak bakacağım.