‎

Galileo, İki Yeni Bilim, Düzgün Hareketler, Teorem 4

Türkçe (chatgpt çevirisi)

Eğer iki hareketli cisim düzgün (eşit) bir hareketle, fakat farklı hızlarla ilerliyorsa ve farklı uzunlukta yollar kat ediyorlarsa, o zaman zamanların oranı, yolların oranı ile hızların ters oranının bileşiminden oluşur.

Varsayalım ki iki hareketli cisim \(A\) ve \(B\) olsun; ve \(A\)’nın hızı \(B\)’nin hızına \( V : T \) oranında, kat edilen yolların oranı da \( S : R \) olsun.
Diyorum ki, \(A\)’nın hareket ettiği zamanın, \(B\)’nin hareket ettiği zamana oranı, \(T\) hızının \(V\) hızına oranı ile \(S\) yolunun \(R\) yoluna oranının bileşiminden oluşur.
\(A\)’nın hareket süresi \(C\) olsun; ve \(T\) hızının \(V\) hızına oranı, \(C\) zamanının \(E\) zamanına oranına eşit olsun.
Şimdi, \(C\) zamanı, cismin \(V\) hızıyla \(S\) uzunluğundaki yolu kat ettiği süredir.
Ve \(C\) zamanı \(E\) zamanına öyle orantılıdır ki, \(B\)’nin hızı \(T\), \(A\)’nın hızı \(V\)’ye nasıl orantılıysa, \(E\) zamanı, \(B\)’nin \(S\) yolunu kat etmesi için gereken süredir.
Şimdi \(E\) zamanı, \(G\) zamanına, \(S\) yolunun \(R\) yoluna oranı kadar orantılı olsun.
Açıktır ki, \(G\) zamanı, \(B\)’nin \(R\) uzunluğundaki yolu kat ettiği süredir.
1. Ve \(C\) ile \(G\)’nin oranı, \(C\) ile \(E\)’nin oranı ile \(E\) ile \(G\)’nin oranının bileşiminden oluştuğuna göre: \(C\) ile \(E\)’nin oranı, \(A\) ve \(B\)’nin hızlarının ters oranına, yani \( T : V \)’ye eşittir.
2. \(E\) ile \(G\)’nin oranı ise yolların oranına, yani \( S : R \)’ye eşittir.
3. Dolayısıyla önerme doğrudur.

Teoremin incelenmesi

Bu teoremi de cebirsel modern dilde açıklayabilir misin? Herhalde Galileo teorem 4'te yaptığına benzer bir yöntem kullanıyor.

Harika bir gözlem — evet, kesinlikle!

Galileo bu 5. Teorem’de, 4. Teorem’de yaptığı yöntemi genişletiyor ama bu kez iki değişik hız ve iki değişik mesafe için zamanların orantısını çıkarıyor.

Hadi adım adım modern cebirsel dille yazalım ve Galileo’nun oran mantığını açıkça görelim.

Galileo’nun verdiği koşullar

İki cisim düşünelim: \(A\) ve \(B\).

Her biri düzgün hareket ediyor, yani hızları sabit:

\[ v_A = V, \quad v_B = T \]

Kat ettikleri yollar:

\[ s_A = S, \quad s_B = R \]

Zamanları da:

\[ t_A = C, \quad t_B = G \]

Galileo’nun temel hareket yasası (henüz modern formda “v = s/t” değil ama oran mantığıyla aynı):

\[ \text{Hızlar, kat edilen mesafeyle doğru orantılıdır ve zamanla ters orantılıdır.} \]

Yani düzgün hareket için:

\[ v = \frac{s}{t} \quad \text{ya da oran olarak} \quad \frac{v_A}{v_B} = \frac{s_A / t_A}{s_B / t_B} \]

Bu eşitliği düzenleyelim:

\[ \frac{v_A}{v_B} = \frac{s_A}{s_B} \cdot \frac{t_B}{t_A} \]

Buradan:

\[ \frac{t_A}{t_B} = \frac{s_A}{s_B} \cdot \frac{v_B}{v_A} \]

Bu, Galileo’nun teoreminde söylediği şeyin tam cebirsel karşılığıdır.

Yani Galileo’nun diliyle:

“Zamanların oranı, yolların oranı ile hızların ters oranının bileşimidir.”

Cebirsel dille:

\[ \boxed{ \frac{t_A}{t_B} = \left(\frac{s_A}{s_B}\right) \times \left(\frac{v_B}{v_A}\right) } \]

veya Galileo’nun sembolleriyle:

\[ \frac{C}{G} = \frac{S}{R} \circ \frac{T}{V} \]

Buradaki “\(\circ\)” Galileo’nun compound ratio (bileşik oran) dediği şeydir; biz bugün onu basitçe çarpma olarak yazarız.

Yorum

Teorem 4’te Galileo sadece eşit yollar için zaman–hız ilişkisini göstermişti:
Eğer yollar eşitse, o zaman:

\[ \frac{t_A}{t_B} = \frac{v_B}{v_A} \]

(= zamanlar hızlara ters orantılıdır.)

Bu 5. teorem, o sonucu genelleştiriyor:

Eğer yollar artık eşit değilse,
zaman oranı artık sadece hız oranına değil, aynı zamanda yol oranına da bağlıdır.

Örnekle gösterelim

Diyelim ki:

\( v_A = 10 , \text{m/s} \)
\( v_B = 5 , \text{m/s} \)
\( s_A = 20 , \text{m} \)
\( s_B = 15 , \text{m} \)

O hâlde:

\[ \frac{t_A}{t_B} = \frac{20}{15} \cdot \frac{5}{10} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \]

Yani \(A\)’nın zamanı, \(B\)’nin zamanının \( \tfrac{2}{3} \)’ü kadardır.

Başka bir deyişle, \(A\) hem daha hızlı hem biraz daha uzun bir yol gitse de, bu oranların bileşimi sonucu toplam zamanı daha kısadır.

İstersen bir sonraki adımda Galileo’nun bu orantıdan hareket kanunu (s = vt) mantığını nasıl çıkardığını da gösterebilirim — çünkü bu teorem tam olarak o modern formülün geometrik öncülüdür.

İngilizce (Drake çevirisi)

Proposition V. Theorem V

If two moveables are carried in equable motion but with unequal speeds, and unequal spaces are run through, then the ratio of the times will be compounded from the ratio of spaces and from the inverse ratio of speeds.

Let there be two moveables A and B, and let the speed of A be to the speed of B as V is to T; and let the spaces run through be as S is to R; I say that the ratio of the time in which A is moved, to the time in which B is moved, is coma pounded from the ratio of speed T to speed V and from the ratio of space S to space R.

Let C be the time of motion A, and as speed T is to speed V, so let time C be to time E.

Since C is the time in which A, at speed V, traverses space S, and since time C is to time E as speed T of moveable B is to speed V, time E will be that in which moveable B traverses the same space Si Now make time E to time G as space S is to space R.

Clearly, G is the time in which B will traverse space R. And since the ratio of C to G is compounded from the ratios C to E and E to G, the ratio of C to E is the same as the inverse ratio of the speeds of moveables A and B; that is, [the same] as the ratio of T to V. But the ratio of E to G is the same as the ratio of spaces S and R; therefore the proposition holds.