Hem Türkçe çeviriyi hem de modern cebirsel açıklamayı aşağıda verdim. Galileo’nun diliyle klasik adım adım ispatı koruyup, hemen ardından günümüz cebiriyle kısa ve net bir gösterim ekledim.

Türkçe çeviri — Önerme VI (Teorem VI)

Eğer iki hareketli cisim düzgün (eşit hızla ilerlemeyen değil, her birinin kendi içinde sabit hızlı) hareket ediyorsa, onların hızlarının oranı, kat edilen mesafelerin (uzunlukların) oranı ile sürelerin ters oranının çarpımı olarak bileşik (compounded) olur.

1. İki hareketli cisim \(A\) ve \(B\) düzgün hareket etsin; \(A\) ile \(B\) tarafından kat edilen mesafeler \(V\) ile \(T\) oranında; süreler ise \(S\) ile \(R\) oranında olsun. Söylemek istiyorum ki \(A\)’nın hızı ile \(B\)’nin hızı arasındaki oran, mesafe \(V\) : mesafe \(T\) oranı ile zaman \(R\) : zaman \(S\) oranının bileşiminden oluşur.
   
2. Hız \(C\), \(A\)’nın mesafe \(V\)’yi zamanda \(S\) kat ettiği hız olsun; \(C\) ile başka bir hız \(E\) arasındaki oran mesafe \(V\) ile mesafe \(T\) arasındaki orandır.
   
3. O halde \(E\), \(B\)’nin aynı süre \(S\) içinde mesafe \(T\)’yi kat ettiği hızdır.
   
4. Eğer \(E\) ile başka bir hız \(G\) arasındaki oran zaman \(R\) ile zaman \(S\) oranı kadar yapılırsa, \(G\), \(B\)’nin mesafe \(T\)’yi zamanda \(R\) kat ettiği hız olur.
   
5. Böylece elimizde \(A\)’nın \(V\)yi zamanda \(S\) kat ettiği hız \(C\) ve \(B\)’nin \(T\)yi zamanda \(R\) kat ettiği hız \(G\) vardır; \(C\) ile \(G\) arasındaki oran, \(C\) ile \(E\) ve \(E\) ile \(G\) oranlarının bileşimidir.
   
6. Ama \(C\) ile \(E\) oranı \(V\) ile \(T\) oranına eşit; \(E\) ile \(G\) oranı da \(R\) ile \(S\) oranına eşit olduğundan, teorem doğrulanır.
   

Galileo’nun sözünü açarken kullandığı “bileşim” sözcüğü günümüz cebirinde çarpma demektir.

Tanımlar (günümüz notasyonuyla):

• \(V, T\) : sırasıyla \(A\) ve \(B\) tarafından kat edilen mesafeler.
  
• \(S, R\) : \(A\) ve \(B\) için ilgili süreler.
  
• \(v_A\) : \(A\)’nın hızı, \(v_B\) : \(B\)’nin hızı.
  

Eşit (düzgün) hareket için hız tanımı:
\[ v_A=\frac{V}{S},\qquad v_B=\frac{T}{R} \]

Hızların oranı:
\[ \frac{v_A}{v_B}=\frac{V/S}{T/R}=\frac{V}{S}\cdot\frac{R}{T}=\left(\frac{V}{T}\right)\cdot\left(\frac{R}{S}\right). \]

Yani \(v_A:v_B\) oranı, \(V:T\) (mesafe oranı) ile \(R:S\) (zamanların ters oranı — çünkü Galileo “zamanların ters oranı” diye söyler) çarpımıdır. Bu tam olarak Galileo’nun “mesafelerin oranı ile zamanların tersi oranının bileşimi” ifadesinin cebirsel biçimidir.

• Eğer \(A\) iki kat daha çok yol (\(V/T=2\)) gidiyor ama iki kat daha uzun sürede (\(S/R=2\)) gidiyorsa, zamanların ters oranı \(R/S=1/2\). Hız oranı (\(2)\cdot(1/2)=1\) olur — yani hızları eşittir. (Bu sezgisel olarak doğru: iki kat yol, iki kat süre \(\rightarrow\) hız aynı.)
  
• Alternatif yazım: \(\displaystyle v_A = v_B\cdot\frac{V}{T}\cdot\frac{R}{S}\).
  

Proposition VI. Theorem VI

If two moveables are carried in equable motion, the ratio of their speeds will be compounded from the ratio of spaces run through and from the inverse ratio of times.

1. Let two moveables, \(A\) and \(B\), be carried in equable motion, and let the spaces run through by them be in the ratio of \(V\) to \(T\), while the times are as \(S\) is to \(R\); I say that the speed of moveable \(A\) has to the speed of moveable \(B\) the ratio compounded from the ratios of space \(V\) to space \(T\) and of time \(R\) to time \(S\).
   
2. Let speed \(C\) be that with which moveable \(A\) traverses space \(V\) in time \(S\), and let speed \(C\) have to another [speed], \(E\), the ratio that space \(V\) has to space \(T\).
   
3. Then \(E\) will be the speed with which moveable \(B\) traverses space \(T\) in the same time, \(S\).
   
4. But if speed \(E\) is made to another [speed], \(G\), as time \(R\) is to time \(S\), then speed \(G\) will be that with which moveable \(B\) traverses space \(T\) in time \(R\).
   
5. Thus we have speed \(C\), with which moveable \(A\) traverses space \(V\) in time \(S\), and speed \(G\), with which moveable \(B\) traverses space \(T\) in time \(R\); and the ratio of \(C\) to \(G\) is compounded from the ratios \(C\) to \(E\) and \(E\) to \(G\).
   
6. But the ratio \(C\) to \(E\) is assumed to be the same as the ratio of space \(V\) to space \(T\), while [ratio] $E$to \(G\) is the same as ratio \(R\) to \(S\); therefore the proposition holds.