Bu çalışma, Galileo Galilei'nin çığır açan eseri İki Yeni Bilim Üzerine Diyaloglar'ın (Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze) Düzgün Harekete Dair Teorem I'ini incelemektedir. Teorem, sabit hızla hareket eden bir cisim için kat edilen mesafeler ile bu mesafelerin kat edilmesi için geçen sürelerin birbirine orantılı olduğunu (\(d \propto t\)) ispatlar. Modern kinematik denklemlerle bu ilişkinin açık olmasına rağmen, Galileo'nun Öklid'in Oranlar Teorisi'ne (Öklid V. Kitap, 5. Tanım) dayanan katı geometrik kanıtı detaylıca analiz edilmiştir. Kanıtın metodolojisi, döneminin bilimsel otoritesi olan geometriye bağlı kalma gerekliliğini yansıtmaktadır. Bu incelemede, teoremin orijinal geometrik etiketleri (\(AB, BC, \dots\)) modern fizik notasyonuna (\(d_1, t_1, \dots\)) dönüştürülerek, kanıtın anlaşılırlığı artırılmış ve bu temel önermenin modern mekaniğin başlangıcı için taşıdığı tarihsel ve matematiksel öneme vurgu yapılmıştır.

Anahtar kelimeleri: Galileo, Düzgün Hareket, Öklid, Oranlar Teorisi, Geometrik Kanıt

Galileo'nun \(AB\),\(BC\) vs. gibi etiketlerini, daha tanımlayıcı \(d_1\), \(t_1\) gibi etiketlerle değiştirdim. Teoremin daha anlaşılır olduğunu düşünüyorum:

AB = d1     DE = t1
BC = d2     EF = t2

GB = D1     EI = T1
BH = D2     EK = T2

D1 = nd1    D2 = md2
T1 = nt1    T2 = mt2

Şartımız:

nd1 >=< md2 ==> nt1 >=< mt2

Eğer bir cisim sabit hızla iki mesafe (\(d_1, d_2\)) kat ederse, bu mesafeleri almak için geçen zamanlar (\(t_1, t_2\)), mesafeler ile aynı orandadır (\(d_1 : d_2 :: t_1 : t_2\))

Mesafeleri \(G\) ve \(H\) yönlerine, zamanları da \(I\) ve \(K\) yönlerine doğru uzat.

\(AG\) üzerinde, her biri \(d_1\)’e eşit olan herhangi sayıda mesafe al, ve \(DI\) üzerinde, her biri \(t_1\)’e eşit olan aynı sayıda süre al.

Yine, \(CH\) üzerinde, her biri \(d_2\)’ye eşit olan herhangi bir çoklukta mesafe al, ve \(FK\) üzerinde, her biri \(t_2\)’ye eşit olan aynı çoklukta süre al.

Böylece \(D_1\) mesafesi ve \(T_1\) zamanı, alınan çarpma oranına göre, \(d_1\) mesafesinin ve \(t_1\) zamanının eşkatlıları olacaktır.

Benzer şekilde, \(D_2\) mesafesi ve \(T_2\) zamanı, aynı çarpma oranında, \(d_2\) mesafesi ve \(t_2\) zamanının eşkatlıları olacaktır.

[Yani, \(D_1 = nd_1\) ve \(T_1 = nt_1\)]
[Yani, \(D_2 = md_2\) ve \(T_2 = mt_2\)]

Ve madem ki \(t_1\), \(d_1\) üzerinden hareketin süresidir, \(T_1\)’in bütünü de \(D_1\)’in tümü için hareket süresi olacaktır; çünkü hareketin düzgün olduğu varsayılmıştır ve \(T_1\) içinde \(D_1\)’deki \(d_1\) kadar eşit aralıklar vardır, her biri \(t_1\) kadar eşit süreye tekabül eder. Benzer biçimde, \(T_2\)’nin de \(D_2\) üzerinden hareketin süresi olduğu sonucuna varılır.

Ama hareketin düzgün olduğu varsayıldığında eğer \(D_1\), \(D_2\)'ye eşitse (\(D_1 = D_2\)), \(T_1\) zamanı, \(T_2\) zamanına eşit olacaktır (\(T_1 = T_2\)); eğer \(D_1\), \(D_2\)’den büyükse (\(D_1 > D_2\)), \(T_1\) de \(T_2\)’den büyük olacaktır; küçükse, daha küçük olacaktır.

Yani,

\[D_1 = D_2 \Rightarrow T_1 = T_2\]\[D_1 > D_2 \Rightarrow T_1 > T_2\]\[D_1 < D_2 \Rightarrow T_1 < T_2\]

Öyleyse dört büyüklük vardır:

\[d_1, d_2, t_1, t_2\]

\(d_1\) ve \(t_1\)'in eşkatları herhangi bir çarpma oranına göre alınmıştır yani \(D_1\) ve \(T_1\) [yani, \(D_1 = nd_1\) ve \(T_1 = nt_1\)].

Ve gösterilmiştir ki bunlar \(d_2\) ve \(t_2\)'nin eşkatları olan \(D_2\) ve \(T_2\)'ye eşittir, onlardan küçüktür veya onlardan büyüktür.

Dolayısıyla \(d_1\)'in \(d_2\)'ye oranı \(t_1\)'in \(t_2\)'ye oranı ile aynıdır: \[\frac{d_1}{d_2}=\frac{t_1}{t_2}\]

[Bu sonuç direk olarak Öklid'in V.5.Tanım'ından çıkıyor]

Q.E.D

Galileo, \[d_1 : d_2 :: t_1 : t_2\] orantısını ispatlamak istiyor, yani mesafenin zamana orantılı olduğunu ispatlamak istiyor: \[d\propto t\]

Bence mesafenin zamana orantılı olduğunu ispat etmeye gerek yok çünkü Galileo zaten hızın sabit olduğunu varsayıyor, hız sabitse zaten mesafe zamana orantılı olacaktır. \(d = v\cdot t\) olduğuna göre ve \(v\) sabit olduğuna göre \(d = v\cdot t\) denkleminde \(v\) orantı sabiti olmuş oluyor. Bu denklemi orantı olarak yazarsak \(v\) elenir ve mesafenin zamana orantılı olduğu hemen anlşılır: \(d \propto t\)

Fakat Galileo bu yöntemi kullanmamayı tercih etmiş. Galileo Öklid'in V. Kitabından, 5. Tanımı (Öklid V.5.Tanım) kullanıyor. Galileo'nun mantığı şöyle ilerliyor:

\(d_1\) ve \(d_2\) mesafeleri ve bu mesafelerin kat edildiği \(t_1\) ve \(t_2\) zamanları verilmiş.

Galileo \(d_1 : d_2 :: t_1 : t_2\) orantısının olduğunu, yani mesafelerin zamanlara orantılı olduğunu göstermek istiyor: \(d\propto t\). Aynı orantıyı kesir olarak da yazabiliriz: \[\frac{d_1}{d_2} = \frac{t_1}{t_2}\]

Yani iki oranımız var \(d_1 : d_2\) ve \(t_1 : t_2\).

Galileo bu oranlara Öklid V.5.Tanım'ı uyguluyor, yani herhangi iki tam sayı olan \(m\) ve \(n\) ile şu şekilde katsayılarını alıyor:

\[D_1 = nd_1,\; T_1 = nt_1\]\[D_2 = md_2,\; T_2 = mt_2\]

Hızın sabit olduğu varsayıldığı için Öklid V.5.Tanım'ın bu üç şartı da butün \(m\) ve \(n\)'ler için geçerli oluyor.

\[D_1 > D_2 \;\Longrightarrow \;T_1 > T_2\]\[D_1 = D_2 \;\Longrightarrow \;T_1 = T_2\]\[D_1 < D_2 \;\Longrightarrow \;T_1 < T_2\]

Yani eğer \(D_1 > D_2\) ise o zaman \(T_1 > T_2\) oluyor. Diğer şartlar için de aynı şey geçerli.

Öklid'in tanımı diyor ki, eğer bu şartlar tatmin oluyorsa o zaman verilen oranlar eşittir. Böylece Galileo da verilen iki orananın \(d_1 : d_2\) ve \(t_1 : t_2\)'nin eşit olduğunu ispatlamış oluyor: \(d_1 : d_2 :: t_1 : t_2\).

galileo-teorem-1-yeni-etiketler.org