Nicelikler, eğer birinciyle üçüncünün herhangi eşit katları ikinciyle dördüncünün herhangi eşit katlarından sırasıyla aynı anda büyük, aynı anda eşit ya da aynı anda küçük olursa aynı orandadır denir, yani birinci ikinciye ve üçüncü dördüncüye.

İlk okunuşta çok zor ve karmaşık bir şey söyleniyormuş gibi geliyor ama aslında çok basit bir tanım.

1. Dört nicelik \(A, B, C, D\) iki oran olarak veriliyor, \(A:B\) ve \(C:D\). Bu iki oran hangi şartlar altında eşittir? Veya bu oranların eşit olup olmadığını nasıl test edebiliriz?
   

2. Öklid şu testi öneriyor:
   
3. \(A:B\) ve \(C:D\) oranları eşit mi bulmaya çalışıyoruz yani \[\frac{A}{B}=\frac{C}{D}\] orantısı var mı?
   
4. Herhangi \(m\) ve \(n\) tam sayılarını al ve "birinciyle üçüncünün eşit katlarını al" yani \(A\) ve \(C\)'yi \(n\) ile çarp: \(mA\) ve \(mC\). Ve "ikinciyle dördüncünün herhangi eşit katlarını al" yani \(B\) ve \(D\)'yi \(m\) ile çarp: \(nB\) ve \(nD\).
   
5. (\(m=n\) olabilir)
   
6. Şimdi, birinci oranın terimlerinin eşitkatlarının eşit olduğunu varsayalım: \(mA = nB\) ve bu varsayım altında ikinci ve dördüncünün de eşit olup olmadığına bakalım.
   
7. Yani \(mA=nB\) varsayıldığında \(mC=nD\) eşitliği de oluyor mu?
   
8. Eğer \[mA = nB \Rightarrow mC = nD\] oluyorsa, \[\frac{A}{B}=\frac{C}{D}\] orantısı var demektir.
   
9. Ya, \(mA=nB\) diye varsayabiliriz, veya \(mC=nD\) diye varsayabiliriz, bir şey değişmez.
   

10. Fakat tanım aslında şöyle diyor: \[mA > nB \Rightarrow mC > nD\]\[mA = nB \Rightarrow mC = nD\]\[mA < nB \Rightarrow mC < nD\]
    
11. Yani, Ali Sinan Sertöz'ün dediği gibi "bu üç durumdan mutlaka biri gerçekleşiyorsa, bu durumda \(A:B = C:D\) deriz."
    
12. Fakat, Öklid bu tanımı kullandığı VI.1'de sanki 3 şartın da aynı anda gerçekleşmesi gerektiğini söylüyor.
    
13. Peki, şartlardan biri gerçekleşirse diğer ikisi de zorunlu olarak gerçekleşiyor mu? Henüz bu iki soruyu tam anlayamadım.
    

14. Bizim incelediğimiz 5. Kitap'ta oranlar sayı değildir, yani verilen nicelikler \(A, B, C, D\) geometrik büyüklüklerdir. Ya çizgi olarak ifade edilirler veya geometrik şekillerin alanları olarak. Bu durum VI.1'deki şekilde açıkça görülüyor.
    

15. Tanım'da "herhangi eşit katları…" dendiği için istediğimiz herhangi bir \(m\) ve \(n\) sayısını seçebiliriz.
    
16. Fakat matematikçiler bu tanımı farklı okuyorlar. Sadece herhangi \(m\) ve \(n\) değil, "Öklid'in eşkatlılar testini bütün \(m\) ve \(n\) sayıları ile denemeliyiz" diyorlar. Fakat sonsuz sayıda \(m\) ve \(n\) sayısı olduğuna göre biz böyle bir deney yapamayız. Öyleyse, tanımın testi bütün \(m\) ve \(n\)'lerle yapılmalıdır demenin anlamı nedir?
    

17. Ayrıca, 5. Kitap'ta oranlar sayı olmadığı için sayılarla test yapmanın geçerli olmadığını düşünüyorum. Fakat yine de sayısal bir kaç deneme yaptım. Burada eşit olmayan iki oran aldığımız halde tanımın şartları tutabiliyor. İşte bir örnek:
    

\[A=91, B=13, C=71, D=85\]\[A/B = 7.0, C/D=0.8\] yani oranlar eşit değil.

Deneme 1 (\(m=10, n=3\))
Sonuç:
\[(10\times 91 = 910) > (3\times 13 = 39)\]\[(10\times 71 = 710) > (3\times 85 = 255)\]

Bu test verilen oranların eşit olduğunu söylüyor, ama bu doğru değil. Herhalde bu sebepten her \(m\) ve \(n\) için deneme yapmak gerekir diyorlar.

Deneme 2 (\(m=1, n=2\))
Sonuç:
\[(1\times 91 = 91) > (2\times 13 = 26)\]\[(1\times 71 = 71) < (2\times 85 = 170)\]

Bu test de veriler oranların eşit olmadığını söylüyor, doğru olarak.

18. Bütün \(m\) ve \(n\)'ler için deneme yapamayız ve yapmamız da gerekmiyor çünkü tanım bunu gerektirmiyor.
    
19. Tanımda kıyaslardan birinin eşit olduğunu varsayıyoruz. Yani \(m\) ve \(n\) sayıları ne olursa olsun, mesela bizim örnekte, \(mA=nB\) olduğunu varsayıyoruz. \(m\) ve \(n\)'nin ne olduğu hiç önemli değil. \(mA=nB\) olduğunu varsaydıktan sonra \(mC=nD\) olup olmadığına bakıyoruz. \(m\) ve \(n\) ne olursa olsun varsaydığımız eşitliği etkilemiyor. O zaman, yukarda yaptığımız sayısal denemele Tanım V.5'i doğru olarak test etmemektedir.
    
20. Eşkatlıların eşit olduğunu varsaydığımızda ne oluyor? \(m\) ve \(n\)'nin sayısal değerleri işin içine girmiyor çünkü \(m\) ve \(n\)'nin değeri ne olursa olsun \(mA = nB\) olacaktır.
    
21. Bunu zaten Öklid'in bu tanımı uyguladığı Önerme VI.1'de görüyoruz. Tabanların sol tarafını \(m\) ile çarpıyoruz ve tabanların sağ tarafını \(n\) ile çarpıyoruz. Sonra sol ve sağ eşkatlıların eşit olduğunu varsayıyoruz. Aynı şekilde üçgenleri de \(m\) ve \(n\) ile çarpıyoruz ve üçgenlerin bu uzunlaştırılmış tabanlar üzerinde eşit olduğunu varsayıyoruz. Üçgenlerin eşit olduğu Öklid Önerme I.38'den geliyor. Yani, Tanım V.5'in şartlarını uygularken ve ispatlarken \(m\) ve \(n\) terimlerini kullanmıyoruz.
    
22. Ayrıca yukarda bahsettiğimiz gibi zaten verilen nicelikler ve oranlar sayı değil, geometrik büyüklüktür, onun için, \(A=5\), \(B=13\) vs. gibi bu büyüklüklere sayısal değerler vermek, Tanım'ın ruhuna aykırıdır diye düşünüyorum.
    

1. Burada bir karışıklık var.
   
2. Verilen oranlar \(A:B\) ve \(C:D\) olsun.
   
3. \(A\) ve \(B\) bir doğru üzerinde iki çizgi olsun, \(A\), \(B\)'nin solunda olsun.
   
4. Öklid'te \(A\) ve \(B\) geometrik büyüklükler oldukları için sayısal değerleri yoktur ama \(A\) ve \(B\)'ye sayısal değerler vererek anlayamadığım bir noktayı açıklamak istiyorum.
   
5. \(A=1\) birim ve \(B=3\) birim olsun. \(A\) ve \(B\)'yi aynı doğru üzerinde çizdik.
   
6. Şimdi \(m=4\) ve \(n=3\) olsun.
   
7. Eşkatlıları alalım: \(mA=4\cdot 1 = 4\) ve \(nB=3\cdot 3 = 9\)
   
8. Şimdi iki yeni çizgi elde etmiş olduk: \(mA=4\) ve \(nB=9\).
   
9. Tanım şartlarından biri bu iki çizginin eşit olması. Fakat \(mA=nB\) diyebilmemiz için ya \(m\)'nin ya da \(n\)'nin ya da her ikisinin değerlerini değiştirmemiz gerekir. \(A:B\) oranı verildiği için \(A\)'yı ve \(B\)'yi değiştiremeyiz.
   
10. Bu durumda, \(m=9\) yaparsak ve \(n=3\) olarak tutarsak ancak eşitlik sağlanmış olur: \((mA = 9\cdot 1 = 9) = (nB = 3\cdot 3=9)\) olabilir.
    
11. Yani tanımın dediği gibi herhangi \(m\) ve \(n\) almak söz konusu değil.
    

Öklid, Tanım V.5 üzerinde çalışıyorduk. Takıldığım bir konu var, m ve n sayıları hakkında. Eşkatlıları alıp mA=nB diyebilmemiz için m ve n'yi "ayarlamamız" gerekiyor gibi geliyor bana. Aşağıdaki yazıda daha detaylı açıklamaya çalıştım. Bir yerlerde mantık hatası yaptığımı düşünüyorum. İyice bir bakıp fikirlerini söyleyebilir misin?

Detaylı açıklamanız için teşekkür ederim. Öklid'in V. Kitap, 5. Tanım'ı (Oranların Eşitliği Tanımı) üzerindeki kafa karışıklığınızı çok iyi anlıyorum. Bu tanım, Öklid'in en zorlayıcı ve bir o kadar da dehasını gösteren kısımlarından biridir.

Tanım V.5'e dair mantık hatası yaptığınız nokta, Tanım şartlarından birinin \(mA = nB\) olması gerektiği varsayımıdır.

Aslında durum tam tersidir.

Harika bir açıklama, çok faydalı oldu, henüz okumaya devam ediyorum fakat aklıma bir soru geldi:

"Bu testin koşulu, mA ve nB'nin birbirine eşit olması değil, mA ve nB arasındaki ilişkinin (<, =, veya >) mC ve nD arasındaki ilişkiyle aynı olmasıdır."

İki şey (iki nicelik?) arasındaki bu "büyüklük" ilişkisinin teknik bir ismi var mı? Sanki İngilizce'de var gibi hatırlıyorum. Yani burada mA ya nB'ye eşit olabilir, ya büyük olabilir ya da küçük olabilir. Başka seçenek yok. Buna "büyüklük" ilişkisi mi diyelim?

Açıklamayı faydalı bulmanıza sevindim! Öklid'in bu tanımı gerçekten kilit noktadır.

Sorduğunuz o "büyüklük" ilişkisinin teknik ismine gelince, evet, İngilizce'de bu üçlü ilişkiyi (küçüktür, eşittir, büyüktür) tek bir kavram altında toplayan bir terim mevcut.

Bu ilişkiye "Trichotomy" (Trikotomi) denir.

"Tanım, herhangi iki oran A:B ve C:D'nin eşit olması için, keyfi olarak seçilen herhangi m ve n tamsayıları için aşağıdaki üç durumdan birinin aynı anda geçerli olmasını gerektirir:"

Trikotomi ilkesine göre mA ve nB arasında, seçtiğimiz m ve n'ye göre üç seçenekten biri olacaktır (>,=,<). Mesela, eşitlik oluştu diyelim, o zaman, mC ve nD'nin de eşit olup olmadığına bakıyoruz. Eğer eşitse, verilen oranların eşit olduğunu söylüyoruz. Buraya kadar doğru anlıyor muyum?

Evet, tek bir \(m\) ve \(n\) çifti için izlediğiniz mantık tamamen doğrudur.

\(m\) ve \(n\)'yi keyfi olarak seçtiğinizde, \(mA\) ile \(nB\) arasındaki ilişkinin (Trikotomi ilkesi gereği \(>, =\) veya \(<\) olacağı) \(mC\) ile \(nD\) arasında da birebir aynı olup olmadığına bakarsınız.

"Eğer tüm olası m ve n seçimleri için bu tutarlılık korunuyorsa, o zaman A:B=C:D diyebiliriz."

Fakat, sonsuz sayıda m ve n olduğu için bütün m ve n kombinasyonları için bu testi yapamayız, öyle değil mi? Bunun çözümü nedir?

Çok haklısınız! İşte tam da bu, Öklid'in Tanım V.5'i formüle edişinin dehasıdır.

Geleneksel olarak, oranların eşitliği rasyonel sayılar için \(A/B = C/D\) denklemiyle gösterilir ve bu da içler dışlar çarpımıyla \(AD = BC\) anlamına gelir. Fakat Öklid döneminde irrasyonel sayı (nicelik) kavramı vardı ve \(\sqrt{2}\) gibi niceliklerin kesin sayısal değerleri bilinemiyordu. Bu nedenle, sonsuz denemeye dayanmayacak, ancak yine de hem rasyonel hem de irrasyonel nicelikleri kapsayan bir eşitlik testi gerekiyordu.