• \(AB/DE\) dediğimizde \(AB\)'yi \(DE\) ile ölçüyoruz, öyle değil mi?
  
• Alt taraf birim oluyor
  
• Zaten oranın tanımı bu değil mi?
  
• \(DE\) \(AB\)'yi ölçen birim olduğuna göre \(AB\) ile aynı cisten olmalı yoksa \(AB\)'yi ölçemez.
  
• Burada \(AB\) ve \(DE\) geometrik büyüklüklerdir, mesela, çizgidir.
  

Ali Sinan Sertöz'ün Bilim ve Teknik'te yayınlanmış bir yazısına bakıyorum. Oranlar ve oranların eşitliği hakkında benim de şu anda çalıştığı Tanım V.5'i açıklıyor. Fakat ondan önce Öklid'in oran tanımı nedir onu açıklıyor:

Öklid'e göre aynı türden niceliklerin büyüklükleri arasındaki ilişkiye oran denir.

Bu Öklid, Book V. Def. 3'ün bir tercümesi olmalı: A ratio is a sort of relation in respect of size between two magnitudes of the same kind.

Benim sorum bir sonraki şu cümle ile ilgili: Eğer iki nicelikten her birinin bir katı öbüründen büyük olabiliyorsa, o zaman bu iki nicelik arasında bir oran vardır diyeceğiz.

Bunu açıklayabilir misin? Belki örnekler vererek.

Bu cümlenin anlamı, Öklid'in oran tanımının geçerli olması için gereken temel koşulu belirtir. Bu koşul, genellikle matematikte Arşimet Özelliği (ya da Arşimet Aksiyomu) olarak bilinir.

Sizin alıntıladığınız cümle, aslında Öklid'in Elementler kitabının V. Kitap, Tanım 4'ünün bir ifadesidir:

"Magnitudes are said to have a ratio with respect to one another which are capable, when multiplied, of exceeding one another."

(Birbirine göre oranı olan büyüklükler, birbiriyle çarpıldığında birbirini aşabilecek olandır.)

Cümle, iki nicelik arasında bir oran (yani büyüklük ilişkisi) kurulabilmesi için niceliklerin birbirleriyle kıyaslanabilir olması gerektiğini söyler. Kıyaslanabilirlik (ya da bir oranın varlığı), aşağıdaki koşula bağlıdır:

Düzeltme başla

Burada Gemini'nin Latex'i hata verdi ben böyle yazdım:

Yok, latex çok uzun bir satır olduğu için sorun yaratıyor. Şöyle temizlemeye çalıştım:

\(A\) ve \(B\) nicelikleri verilmişse, şu şartlar altında \(A\) ve \(B\) arasında bir oran vardır:

Öyle bir tam sayı \(n\) vardır ki, \(nA > B\) ve öyle bir tam sayı \(m\) vardır ki \(mB > A\).

Doğru anlamış mıyım? Bunu düzeltebilir misin?

Cevap:

Anladığınız ifade kesinlikle doğru ve Öklid'in V. Kitap, Tanım 4'ünü mükemmel bir şekilde özetlemektedir.

Sizin temizlediğiniz ve özetlediğiniz ifade, tam olarak o cümlenin ("Eğer iki nicelikten her birinin bir katı öbüründen büyük olabiliyorsa, o zaman bu iki nicelik arasında bir oran vardır diyeceğiz.") modern ve matematiksel karşılığıdır:

İfade Doğruluğu:

İki aynı türden nicelik (\(A\) ve \(B\)) arasında bir oranın var olması için gereken şart budur:

\[\text{Bir oran vardır} \iff \begin{cases} \text{1. } \text{Öyle bir pozitif tam sayı } n \text{ vardır ki, } n \cdot A > B \\ \text{2. } \text{Öyle bir pozitif tam sayı } m \text{ vardır ki, } m \cdot B > A \end{cases}\]

Bu şart, niceliklerin karşılıklı olarak birbirini aşabilmesi anlamına gelir. Bu özellik, niceliklerin ne sonsuz küçük ne de sonsuz büyük olmamasını garanti eder.

1. \(n \cdot A > B\): \(A\) niceliği, \(B\)'yi ölçmek için yeterince "büyük" bir birimdir. \(A\)'dan yeterli sayıda alırsanız \(B\)'yi geçebilirsiniz.
   
2. \(m \cdot B > A\): \(B\) niceliği de \(A\)'yı ölçmek için yeterince "büyük" bir birimdir. \(B\)'den yeterli sayıda alırsanız \(A\)'yı geçebilirsiniz.
   

Eğer bu iki şart da sağlanıyorsa, nicelikler kıyaslanabilir demektir ve aralarında bir oran (\(A/B\)) kurulabilir.

Anlayışınız tamamen yerinde.

düzeltme sonu

Bu koşulun özü, bir niceliği yeterince katsayıyla çarptığınızda, diğer niceliği aşabilmeniz gerektiğidir.

Örnek 1: Oranı Olan Nicelikler (Boylar)

• \(A\): Bir kalemin boyu (diyelim ki \(15\) cm).
  
• \(B\): Bir masanın boyu (diyelim ki \(150\) cm).
  

Bu iki nicelik arasında bir oran vardır:

1. Kalemin (\(A\)) bir katı masayı (\(B\)) aşabilir:
   
2. \(10 \cdot A = 150 \text{ cm}\). \(11 \cdot A = 165 \text{ cm}\). (\(11 \cdot A > B\) olduğu için aşar.)
   
3. Masanın (\(B\)) bir katı kalemi (\(A\)) aşabilir:
   
4. \(1 \cdot B = 150 \text{ cm}\). (\(1 \cdot B > A\) olduğu için aşar.)
   

Her iki niceliğin de katları diğerini aşabildiği için, \(A\) ve \(B\) arasında bir oran kurulabilir ve bu oran sayısal olarak ifade edilebilir (\(A/B = 1/10\)).

Bu koşul, hangi durumlarda oranın olmadığını (yani kıyaslanamazlığı) tanımlar. Modern matematikte bu, genellikle sonsuz küçük veya sonsuz büyük niceliklerle ilişkilendirilir (Öklid'in zamanında bu kavramlar tam olarak böyle formüle edilmemiş olsa da, mantığı budur).

Örnek 2: Oranı Olmayan Nicelikler (Hipotetik)

Öklid zamanında olmasaydı da, modern bir bakış açısıyla açıklamak gerekirse, Arşimet özelliği olmayan bir "oran" kurmaya çalışmak şuna benzerdi:

• \(A\): Birim uzunluk (\(1\)).
  
• \(B\): Sonsuz küçük bir nicelik \((\epsilon > 0)\) öyle ki, siz \(\epsilon\)'yi hangi tam sayıyla çarparsanız çarpın, \(1\)'i aşamaz. Örneğin, \(n \cdot \epsilon\) her zaman \(1\)'den küçüktür.
  

Bu durumda:

1. \(A\)'nın katı (\(n \cdot A\)), \(B\)'yi aşabilir. (Örn: \(1 \cdot A > B\))
   
2. Ancak, \(B\)'nin hiçbir katı (\(n \cdot B\)) \(A\)'yı aşamaz.
   

Böyle bir durumda, Öklid'e göre \(A\) ve \(B\) arasında bir oran yoktur. Nicelikler birbirleriyle kıyaslanamazdır, çünkü \(B\) niceliği \(A\)'ya göre o kadar küçüktür ki, onu "ölçmek" için \(A\)'nın birimini kullanamazsınız; \(B\) hiçbir zaman \(A\)'nın "yanına" bile yaklaşamaz.

Özetle, Ali Sinan Sertöz'ün alıntıladığı cümle:

İki nicelik arasında bir oranın olabilmesi için, niceliklerin birbirine göre "ölçülebilir" olması, yani birbirinin yanında sönük kalmayacak kadar birbirine yakın büyüklükte olması gerektiğini ifade eden temel varoluş koşuludur. Bu, matematiğin temel yapılarından biri olan Arşimet Özelliği'dir.

Evet tahmin ettiğin gibi, Sertöz, Tanım V.5'e geçiyor ve şunları yazıyor:

Öklid'in geliştirdiği oranlar kuramı iki oranın ne zaman eşit olacağının tanımı ile başlar.

Biz de önce iki doğru alalım ve bunlara \(A\) ve \(B\) diyelim. Bu doğrular arasında bir oran olduğunu yukardaki paragrafta kabul etmiştik.

İki de üçgen alalım ve onlara da X ve Y diyelim. Yine yukarıdaki paragraftaki bakış açısıyla bu üçgenlerin alanları arasında bir oran olduğunu görebiliriz. Üçgenlerin alanları arasındaki orandan söz ederken "alan" kelimesi kullanılırsa sanki bir birim seçilmiş ve o birim kullanılarak hesaplanmış sayılar olduğu izlenimi doğar. Oysa birimden bağımsız, mutlak bir alan niceliğinden söz ettiğimiz anlaşılsın diye Öklid üçgenlerin alanlarının oranından değil, üçgenlerin oranından söz eder. Biz de öyle yapalım.

Şimde "\(A\)'nın \(B\)'ye oranı, ne zaman \(X\)'in \(Y\)'ye oranına eşit olur" sorusuna dönelim ve Öklid'in verdiği açıklamayı anlamaya çalışalım.

Her şeyden önce eğer \(A\)'nın \(B\)'ye oranı \(X\)'in \(Y\)'ye oranına eşit olacaksa ve eğer \(A\), \(B\)'den küçükse, \(X\) de \(Y\)'den küçük olmalı elbette. Buna kimsenin itirazı olmaz.

Şimdi Öklid bu kıyaslamayı sonsuz defa yapmayı öneriyor. Yani \(m\) ve \(n\) gibi iki pozitif tam sayı seçelim, "\(A\)'nın \(m\) katı \(B\)'nin \(n\) katından küçük mü, büyük mü, yoksa bunlar eşit mi" diye soralım.

Bu soruya verdiğimiz cevap eğer "\(X\)'in \(m\) katı \(Y\)'nin \(n\) katından küçük mü, büyük mü yoksa bunları eşit mi" sorusuna verdiğimiz cevapla aynıysa, başka bir \(m\) ve başka ber \(n\) seçerek aynı kıyaslamayı yapmaya devam edeceğiz.

Bu kıyaslamalar hep aynı çıkıyorsa \(A\)'nın \(B\)'ye oranı \(X\)'in \(Y\)'ye oranına eşittir diyeceğiz.

Öklid'in kısa ve öz anlatımıyla Tanım V.5'i şöyle ifade edebiliriz:

Eğer \(A\) ve \(X\)'in herhangi eşit katları, \(B\) ve \(Y\)'nin herhangi eşit katlarından aynı anda sırasıyla küçük, eşit ya da büyük oluyorsa, \(A\)'nın \(B\)'ye oranı \(X\)'in \(Y\)'ye oranına eşittir.

Burada takdir edilecek yön, bir birim ve bu birime bağlı sayıların kullanılmamış olmasıdır. Sadece \(A\) ve \(B\)'nin katlarını birbirleriyle kıyaslıyoruz ve aynı kıyaslamayı \(X\) ve \(Y\) ile yaptığımızda aynı ilişki ortaya çıkıyor mi diye bakıyoruz.

Eğer \(A\) ve \(B\)'nin katlarının birbirleriyle olan büyüklük ve küçüklük ilişkisi, \(X\) ve \(Y\)'nin katları arasında da oluşuyorsa oranları eşittir diyoruz.

İlk sormak istediğim şu: Sertöz, "Şimdi Öklid bu kıyaslamayı sonsuz defa yapmayı öneriyor," diyor. Tanımda bu kıyaslamanın sonsuz defa yapılacağı nerede geçiyor veya söyleniyor?

Bu harika bir noktaya değindiniz. Bu, Öklid'in Tanım V.5'inin gücünü ve modern matematik üzerindeki kalıcı etkisini anlamanın anahtarlarından biridir.

Sertöz'ün "sonsuz defa yapmayı öneriyor" ifadesi, tanımın içindeki sözcüklerde değil, matematiksel mantığında ve genelleyici kuvvetinde gizlidir.

Öklid'in V. Kitap, Tanım 5'ini (Oranların Eşitliği) tekrar inceleyelim:

Eğer \(A\) ve \(X\)'in herhangi eşit katları, \(B\) ve \(Y\)'nin herhangi eşit katlarından aynı anda sırasıyla küçük, eşit ya da büyük oluyorsa, \(A\)'nın \(B\)'ye oranı \(X\)'in \(Y\)'ye oranına eşittir.

Bu tanımın matematiksel ifadesi şöyledir:

\[\frac{A}{B} = \frac{X}{Y} \iff \text{Tüm pozitif tam sayılar } m \text{ ve } n \text{ için, }\]
\[(m \cdot A > n \cdot B \iff m \cdot X > n \cdot Y) \quad \text{VE}\]
\[(m \cdot A = n \cdot B \iff m \cdot X = n \cdot Y) \quad \text{VE}\]
\[(m \cdot A < n \cdot B \iff m \cdot X < n \cdot Y)\]

Buradaki anahtar kelime "Herhangi"​dir.

Öklid'in V.5 Tanımı'ndaki "herhangi eşit katlar" (İngilizce: "if any equimultiples whatever be taken​") ifadesinin matematiksel karşılığı, tüm olası pozitif tam sayı çiftleri (\(m, n\)) için bu kıyaslama kuralının geçerli olmasıdır.

Tanım V.5, Öklid'in Elementler'inde oran kavramının temeli olduğu için, V. Kitap'taki bütün önermeler ve VI. Kitap'taki bütün temel önermeler bu tanıma dayanır.

İşte V.5'in doğrudan veya dolaylı olarak kullanıldığı (yani oranların eşitliğini kanıtlamak için referans gösterilen) en önemli önermelerden bazıları: