‎

Galileo, Teorem 2, Sonuç 2, Scholium, Özet

Not

Galileo'nun kullandığı fizik ve mekanik terimleri şekilde temsil edilmiyor

Bu Scholium'da Galileo, impetus (impeto), power (talento), moment (momento), energy (energia) gibi fizik ve mekaniğe ait kelimeler kullanıyor, bazen eşanlamlı olarak, bazen ayrı ayrı. Bu terimler Scholium'da kullanılan geometrik şekilde ve Galileo'nun tanımladığı orantıda (\(H/G=FC/FA\)) temsil edilemedikleri için konu dışı dekoratif veya ideolojik terimler olarak kalıyorlar.

Galileo fizik ve mekanik terimleri kullanarak hareketin sebeplerini bulmayı hedefliyor

Galileo 3. Gün'ün en başında hareketin sebeplerini araştırmadığını sadece hareketin matematiksel oranlarını belirlemek istediğini bir ilke olarak söylerken, impetus, moment gibi fizik ve mekanik terimleri kullanarak aslında sebep belirlemeye girişmiş oluyor. [Link: nedensellik]

1. Scholium

Scholium özetle şöyle söylüyor:
1. Dikeyde serbest düşüş hareketi için gösterdiklerimiz eğik düzlem üzerinde hareketler için de geçerlidir.
2. Yani, eğik düzlemde de hız dikeyde olduğu gibi doğal sayılar dizisi gibi artar.
3. Zaman da doğal sayılar dizisi gibi artar.
4. Hız, hem serbest düşüşte hem de eğik düzlemde, zamanla orantılı olarak düzgün bir şekilde artar, yani hareket sabit ivme ile artar.
5. Her zaman diliminde sabit bir hız eklenir. Bu eklenen sabit hıza ivme denir.
6. [Hız zaman ilişkisi (felsefi not): Geometrik olarak hız da zaman da çizgi olarak gösterilir. Yani "zaman" dediğimiz şey geçilen mesafeyi ölçen "birim mesafe"den başka bir şey değildir.]
  1. [Zamanın, yani şu felsefi "Zaman"ın, doğal sayılar falan gibi arttığı yok, biz zamanı birim olarak alıp hızı ölçtüğümüz için, zamanı doğal sayılar gibi arttırıyoruz. Yani, zamanı eşit aralıklarla, yani 1 birim olarak arttırıyoruz. Zaman aralıkları değişmiyor, zaman aralıklarını sabit tuturak, değişen hız aralıklarını ölçüyoruz. Aynı şekilde, hızı birim olarak alıp, hızı sabitleyip zamanı ölçebiliriz. (zaman) ]

2. Momentler değişik eğimlerde değişiktir

En büyük hız dikeydedir.
1. Veya en büyük moment dikeydedir. [Moment ağırlıkla ilgili olmalı. Neden? Çünkü moment Leibniz'den beri \(mv\) olarak tanımlanmış. Burada \(m\) = Kütle. Galileo'da kütle kavramı yok, Galileo ağırlık kullanıyor. Galileo için moment ağırlık çarpı hız olmalı. Ağırlık önemli değilse, mesela, iki cisim de aynı ağırlıkta o zaman hız diyebiliriz. (Drake, Glossary, moment tanımı)].
2. Gemini Galileo'nun moment kelimesini ne anlamda kullandığını şöyle açıklıyor (birinci açıklaması):
3. Moment (momento) ve hareket şiddeti
4. Galileo, ağırlığın [dikeyde ve] eğik düzlemdeki etkisini "moment" olarak tanımlar.

Dikeyde, yatayda ve eğik düzlemde momentlerin oranı

Dikeyde moment maksimumdur (cismin tam ağırlığı)
1. "Cismin tam ağırlığı". Demek ki, cismin ağırlığı düzlemin eğimine göre değişiyor. (Serbest düşüşte (dikey) düzlem yok. Ayrıca serbest düşüşte cismin ağırlığı yoktur, dikeyde asılı duran cismin ağırlığı vardır.)
2. Tam ağırlık = Cismin dikeydeki ağırlığı
3. Kısmi ağırlık = Cismin eğik düzlemdeki ağırlığı
4. Eğik düzlemde ağırlık sinüs theta ile azalıyor: \[\text{Kısmi ağırlık} = \text{Tam ağırlık} \times \sin(\theta)\]
5. Yani, Galileo geometrisinde\[H=G\cdot\frac{FC}{FA}\]
veya
\[\text{G'nin eğimde kısmi ağırlığı} = \text{G'nin tam ağırlığı}\times \frac{FC}{FA}\]
H dikeyde yerçekimini tam olarak hissediyor, G yerçekimini eğime göre hissediyor. Eğim de FC/FA olarak verildiğine göre denge için H'nın G'den hafif olması gerekiyor.
Yatayda moment sıfırdır (cisim ne hızlanır ne yavaşlar - eylemsizliğe gidiş) [Bu durumda cismin ağırlığı etken olmadığına göre, hız sıfırdır diyebiliriz]
1. Galileo'nun yatay düzlemdeki bir cismin hareket durumu için kullandığı bu mantık yürütme sorunludur: İki seçenek var.
2. Ya deneyi yapan kişi cismi hareketsiz olarak yatay düzlemin üzerinde bırakır, bu durumda cisim hareket etmez.
3. Ya da, cisim yatay düzlemde hareketsiz dururken hareket ettirilir yani ona bir ivme verilir. [Başka seçenek var mı?] Bu durumda, cisim hareket ettirildiği yani ivme kazandığı için artık hızlanarak gitmek zorundadır çünkü tanım olarak bu yatay düzlem sürtünmesizdir. Cisim aynı hızda gidemez çünkü hareketsizlikten hareket haline geçiyor ve hızlanmasını durduracak bir engel yok. Galileo'nun da dediği gibi bir cisim sıfır hızdan sadece ivme kazanarak harekete geçebilir. Yani, doğa üstü ve absürd bir varsayımdan başlarsak, yani sürtünme gerçeğini yok sayarsak, işte böyle cismin kendi kendine hızlanarak gitmesi gibi absürd bir sonuca varırız. Newtoncu eylemsizlik tanımının saçmalığı da buradadır. Eylemsizlik
Eğik düzlemde moment, aynı yükseklik için, düzlemin uzunluğu ile ters orantılıdır

Hız ve moment eş anlamlı mı?

[Galileo burada hız ve moment kelimelerini eş anlamlı olarak kullanıyor: Drake s.172, "Momenta or speeds of the same moveable are different on diverse inclined planes. The greatest [speed] is along the vertical." Yani, ağırlık, hız, ivme, moment, impetus, hepsi birbirine karışıyor.]
[Yani hız = mesafe/zaman olarak tanımladığımız hız kavramına Galileo burada "moment" diyor. Fakat, Scholium'un geneline baktığımızda Galileo'nun momenti ağırlıkla ilişkilendirdiğini görüyoruz. Yani aslında, moment ve hız eş anlamlı kelimeler değil.]
Ayrıca, Galileo'nun moment kelimesini bugün fizikte kullanılan moment yani, \(p=mv\) anlamında kullanmadığını anlıyoruz. Aslında Galileo fizikteki moment kavramına benzer bir kavram kullanıyor ama kütle yerine ağırlık diyor: \(p_{galileo}=(\text{ağırlık}\times\text{hız}\))

Gemini 2. moment tanımı

Gemini, Galileo'nun moment'i şu anlamda kullandığını düşünüyor (yukarda yaptığı tanıma pek benzemeyen pek de açık olmayan bir tanım). Köşeli parantez içinde anlamadığım yerleri işaretledim:

Galileo için momento, statik dengedeki [yani mesela asılı duran] bir ağırlığın yaptığı "baskı" [ağırlık?] ile hareket halindeki bir cismin "etkisi" [çarpışma?] arasındaki köprüdür [ne köprüsü?]. [Bu tanım \(p=mv\) tanımına benziyor: \(p_{galileo}=(\text{ağırlık}\times\text{hız})\)]

Gemini'nin de kafası karışmış çünkü bu tanımı anlamak mümkün değil ve zaten moment için başka bir tanım da vermişti. Sonuç olarak Galileo yeni bir bilim tanımladığı için ana kavramları henüz net olarak belirtemiyor.

Bu problemde moment ektisiz elemandır

Fakat daha önemlisi Galileo "moment" dediği niceliği bu Scholium'da kullandığı geometrik şekilde göstermiyor, yani aslında moment diye bir kavram bu problemde etkili olan bir nicelik değil. Moment kavramı Galileo'nun eğik düzlemler hakkında bir hikaye yazmasına yarıyor. Galileo'nun kendisinin de tam olarak anlamadığı bazı kavramlardan biri olarak konuyu sözel olarak açıklarken faydalı olabilir ama gerçek bir nicelik olarak geometrik şekilde temsil edilmediği için moment diye bir kavramın eğik düzlem geometrisinde ne yaptığını anlayamıyoruz.

3. Hız eğim azaldıkça azalır

[Eğik düzlem sürtünme sebebiyle hızı azaltmıyor çünkü sürtünme olmadığını varsayıyoruz.]

Cismin üzerinde hareket ettiği eğik düzlem cismin hızını azaltır.
Fakat Galileo sadece "hız" demiyor, diğer benzer kelimeleri de eşanlamlı olarak kullanıyor: Drake: [page: 172] "Whence the impetus, power [talento], energy, or let us say momentum of descent, comes to be reduced in the underlying plane on which the moveable is supported and descends."
Galileo bütün bu terimlerin eşanlamlı olduğunu ima ediyor:
1. impetus
2. power
3. energy
4. moment
Bu "şeylerin" cismin özelliği olduğu varsayılıyor. Yani hareket eden cismin "impetus" diye bir özelliği varmış ve Galileo'ya göre bu şey cismi taşıyan düzlem tarafından azaltılıyormuş.
Galileo eğik düzlemin cismin hızını azalttığını söylüyor. [Bu hız azalması sürtünme sonucu olmuyor]
Evet, eğik düzlemdeki cismin hızı dikeyde düşüşe göre azalıyor, ama neden? Çünkü eğik düzlemde cisim yerçekimi eğimin sinüsü kadar azalıyor. Yerçekimi dikeyde dik olarak etki ediyor yani \(g\cdot\sin(\pi/2)=g\) olarak yani tam olarak etki ediyor.
Galileo'nun verdiği sebepten mi? [Galileo "eğik düzlem momenti azaltıyor" diyor ama sebep vermiyor] Yoksa, cisme ağırlığını veren "yerçekimi" sadece dikey üzerinden etki ettiği için mi? Yerçekimi eğim açısında etki etmiyor. Yerçekimi

Impetus ve moment orantıda da yok

Eğik düzlemlerde hareket ile ilgili olarak bu orantıyı yazıyoruz: \(H/G = FC/FA\). Bu orantıda, mesela, ışık hızını temsil eden bir terim (bir nicelik) olmadığına göre bu problem ışık hızı ile ilgili değildir. Bu orantı üzerinden "ışık hızı H ve G ağırlığını nasıl etkiliyor?" gibi bir soru sorabilir miyiz? Hayır, çünkü ışık hızı bu orantıda yok. Bu orantıda moment diye bir nicelik de yok. Demek ki, bu orantı ile tanımlanan eğik düzlem probleminde momentum diye bir etken yoktur. İmpetüs denen şey için de aynı şeyi söyleyebiliriz.
Bu orantıda yerçekimini temsil eden bir terim de yok. "H ve G'yi hareket ettiren yerçekimidir" diye dışardan fikir yürütebiliriz fakat bu orantıya bakarak yerçekimi hakkında bilimsel sonuçlara varamayız çünkü bu orantıda yerçekimi bir nicelik olarak temsil edilmiyor.
Denklemlerde temsil edilmeyen terimler üzerinden felsefi çıkarımlar yapmak modern okulcu fizikde çok yaygın bir uygulamadır. Fizikçi makalesinin başında okkalı bir denklem yazar ve sonra paragraflar boyu bu denklemin içinde olmayan felsefi kavramları tartışıp durur. Ama Galileo gibi saygın bir bilim adamının da bu hataya düşeceğini tahmin etmezdim.
Galileo bu orantıda temsil edilmeyen impetüs, moment, güç ve bunlara benzer kelimeler kullanarak aslında matematik modelleme dışına çıkıp fiziksel sebepler aramaya başlıyor. Halbuki Galileo çeşitli yazılarında kendisinden önce gelen skolastiklerin aksine fiziksel sebeplerle ilgilenmediğini sadece matematiksel oranlar bulmak istediğini yani doğayı matematik olarak modellemeyi amaçladığını söyler.
Ama burada bence Galileo sebep bulmak isteğine kapılmış gibi görünüyor.
Galileo, impetüs, moment, güç gibi kelimeler kullanarak sebep aramış oluyor ve kendi ilkesine karşı düşmüş oluyor.

4. Geometrik şekil

AB dikey, AC yatay ve arada çeşitli eğimler var.
1. [AB dikeyde düşüş olduğu için burada cismin üzerinde düştüğü bir düzlem yok. Zaten bu sebepten "serbest" düşüş diyoruz.]
AB dikeyinde aşağı inen ağır cismin itici gücü (impeto) maksimum ve tamdır.
1. [İtici güç ne demek? Hız desek olmuyor mu? Zaten "itici güç" kavramının geldiği impetüs (impeto) teorisi artık kabul görmeyen bir teoridir. Galileo bu kelimeyi kullanıyor diye hangi anlamda kullandığını anlamaya çalışıyoruz.]
2. [Öte yandan impetus ve moment nicelikleri şekilde temsil edilmedikleri için bu probleme etki etmezler ve dolayısıyla Galileo'nun bu kelimelere verdiği anlamlar bizi ilgilendirmez.]
Galileo'nun impetus (impeto) kelimesinden ne anladığı kesin olarak belli değil. Aynı şey için bazen impetus, bazen hız, bazen moment kelimelerini kullanıyor.
Eğim azaldıkça bu impetüs azalır.
CA yatayında ise bu impetüs tamamen yok olur.
CA üzerinde duran ağır cisim harekete ve hareketsizliğe karşı ilgisizdir. Ne hareket etmek ister, ne de hareketsiz kalmak ister.
1. Bu anlamsız bir ifade. Newton bu ifadeyi düzeltmiştir (kendine göre): Cisim hareketsizse hareketsiz kalmak ister, hareketliyse hareket etmeye devam etmek ister. Yani içinde olduğu durumu korumak ister.
2. Burada sorun cismin hareket halindeyse nasıl hareket etmek istemesidir.
3. Newton kendi uydurduğu uzaktan zaman geçmeden cisimleri çekip hareket ettirebilen yerçekimi "yasası" saçmalığını örtpas etmek ve en azından görünüşte çalıştırmak için bu düz çizgi üzerinde ivmesiz hareket eden eylemsizlik hareketini tanımlamıştır.
4. Fakat üzülerek söylüyorum Sevgili Sir Issac, doğada zaman geçmeden uzaktan etki yoktur, bu dünyada zaman geçmeden hiçbir şey olmaz. Sen o muhteşem otoritenle yerçekiminin bu kurala bir istisna olduğunu ve mekanik tanrılarının onayını alıp böyle bir saçmalığı tanımladığını söylersin, ama biz senin otoritene değil doğaya bakarız. Ayrıca doğada düz çizgi üzerinde hareket yoktur. Uzayda düz çizgi üzerinde kendi halinde mutlu mesut kendi eylemsizliği ile gidip duran bir cismi gören bilen varsa söylesin. Uzayda düz çizgi üzerinde hareket yoktur. Uzayda düzgün hareket de yoktur, bir cismin aynı hızda gidebilmesi için onu devamlı aynı hızda tutan bir motoru veya enerji kaynağı olması gerekir.
5. Newton'un o meşhur uydu masalı vardır. Newton yerçekimi ile yörüngede duran bir uydu bir şekilde Newton'un etkisinden kurtulup yörüngenin teğetinden kaçar ve bir düz çizgi üzerinde aynı hızda sonsuza kadar devam edip gider. Newton'dan yetişkinlere uydurma uydu masalları! Uydunun zaten ivmesi var bu eivmeden nasıl kurtulacak? Ayrıca zaten dairesel hareketle gidiyor bu dairesel hareket yörüngeden kurtulduktan sonra da onunla kalacaktır. Ben uydurmuyorum bunu, dünyadan fırlatılan bir roketin yörüngesine bakın dünyanın dairesel hareketi rokette kalacaktır, bu hareketten kurtulmak için yörünge manevraları yapılır.
[Tabii, Galileo burada "animist" akıl yürütüyor. Cansız bir cismin "isteği" olamaz. "Eğilimi" de olamaz. (Burada, Gemini, ikna edici bir şekilde Galileo'nun animizm yapmadığını tam aksine Aristo'nun animizmine karşı durduğunu söyledi. Yani, Galileo, Aristo'nun "cisimler ait oldukları yere gitmek ister" mantığını geometrikleştirerek doğayı kişileştirmeden (animizmden) kurtarmaya çalışır.)]
Yatay düzlem CA üzerindeki cisim hiçbir yöne doğru gitmek istemez, herhangi bir yöne doğru gitme eğilimi yoktur.

Yatay düzlemde de hareket eğilimi vardır

Galileo, cismin yatay düzlem üzerinde herhangi bir yöne (sağa, sola) gitme eğilimi yoktur demek istiyor. Yoksa, yatay düzlemde de aşağı doğru "eğilim" olduğu bu cismin düzleme yaptığı baskıdan anlaşılmaktadır. Cisim aşağı doğru gitmek istiyor fakat düzlem onu engelliyor.

Aristo hareket kuramında ağır cisimler

[Ağır bir cismin ağırlığı bu "ağır cisim" hareketsiz kalınca ortaya çıkıyor sanki, veya aşağı doğru hareketi engellendiği zaman, mesela asılı durduğu zaman. Galileo Aristo'nun hareket teorisine bağlı olduğu için "ağır cisim" demek zorunda. Aristo'ya göre ağır cisimler ve hafif cisimler vardır. Ağır cisimler sadece aşağı doğru hareket edebilirler.]

5. Yatay düzlemde cisim yatayda harekete direnç göstermez

Yatay CA üzerindeki cisim hareket ettirilmeye karşı hiçbir direnç göstermez. [Yani, yataydaki cisim yatayda hareket ettirilmeye karşı direç göstermez]
[Yani, yataydaki cisim ağırlıksızdır. Herhangi bir güç ne kadar küçük olursa olsun bu cismi hareket ettirebilir. Yataydaki cismin ağırlıksız olduğu doğru mu? Hepimiz yataydayız, neden ağırlıksız değiliz? Çünkü, Galileo'nun yatayı, ideal bir yatay düzlem ve sürtünme yok. Ağırlık sürtünmeyle ilgili olmalı o zaman.]
Ben "yatayda cisim hareket ettirilmeye direnç göstermez" ifadesine takıldım. Direnç göstermediğine göre ağırlığı yok demektir. Ağırlığı olmayan bir cisim ancak hareket ettirilmeye direnç göstermez.
İlginç bir durum çıkıyor: dikeyde ağırlığı var. Teraziye koysak ağırlığı var. Ama yatayda ağırlığı yok çünkü yatayda hareket ettirelmeye direnç göstermiyor. Anlayamadım garip bir durum.
[Gemini düzeltme önerisi: "Ağırlıksızdır" yerine, "Cismin ağırlığı (yerçekimi etkisi) hareket doğrultusunda dik olduğu için, yatay düzlemde harekete karşı bir direnç veya hareketi başlatacak bir eğilim oluşturmaz."
1. Evet, bence de bu doğru. Ama şöyle bir durum var:
2. Yerçekimi CA düzlemine tam dik bir baskı uyguluyor, bu cisim ile düzlem arasında bir sürtünme yaratıyor. Ama, hem cismin ideal bir küre olması ve düzleme tek bir matematiksel noktada dokunması ve düzlemin de sürtünmesiz ideal bir düzlem olması varsayıldığı için cismin yatayda harekete karşı hiçbir direnç göstermediğini söyleyebiliyoruz. Fakat, sadece bu tanımlanan ideal durumda, yoksa yerçekimi aşağı doğru baskısı mutlaka düzlem ile cisim arasında sürtünme yaratacaktır (gerçek dünyada).

6. Yatayda cisim kendi kendine yukarı doğru hareket edemez

Yataydaki bir cisim doğal olarak yani kendi kendine yukarı doğru hareket edemez. [Bu çok açık değil mi? Yatayda olmasına gerek yok, hiçbir ağır cisim durduk yerde, kendi kendine yukarı doğru hareket edemez. Bir cismin yukarı doğru hareket edebilmesi için içinde bulunduğu ortamdan daha az yoğun olması gerekir (mantar su içinde yukarı doğru hareket eder.)]
Çünkü bütün ağır cisimler dünyanın merkezine doğru hareket etmek ister. (Galileo H ve G cisimlerinin ağır cisimler olduğunu özellikle söylüyor, çünkü Galileo, Aristo'nun hareket kuramının temel ilkelerini kabul ediyor) [Link: Aristoteles hareket teorisi genel bir özeti]
Ağır cisim sadece merkeze doğru iner, yani tanım icabı ağır cismin tek hareketi merkeze doğru olur. [O zaman bütün ağır cisimlerin dünyanın merkezine doğru gitmek istedikleri de doğru bir varsayım değil. Mantar ağır cisim değil mi? Evet, ağır cisim. Ama yoğunluğu sudan az olduğu için su içinde yukarı doğru hareket etmek istiyor ve yukarı doğru hareket ediyor.]
Öyleyse, dünyanın merkezinden her yerde aynı mesafede olan bir yatay düzlemde, (eğimi olmayan bir düzlemde) bu hareketlinin impetüs'ü veya momenti [veya hızı] sıfır olacaktır.
1. Galileo, yataydaki bir cismin nasıl hareket edeceğini incelemek için bu şekilde bir mantık yürütüyor. Fakat, her ağır cisim dünyanın merkezine gider ifadesi gereksiz değil mi? Simetriden dolayı yataydaki cisim hiçbir yöne gitmek estimez çünkü her yön aynıdır.
[Ayrıca, Galileo'nun bu "dünyanın merkezinden her yerde aynı mesafede" olan eğimsiz yatay düzlemi sadece laboratuar ortamındaki kısa düzlemler için geçerlidir. Yoksa her yerde dünyanın merkezine eşit bir düzlem dünyanın eğimi ile eğik olacaktır. Bu konuda bazı hesaplar Mesela 1 kilometre uzunluğunda yatay bir düzlemin eğimi 2 cm olurmuş, bu da ölçülebilir bir fark.
1. Yani eylemsizlik hareketini incelemek için yatay düzleme bakmak gerekiyor mu, emin değilim. Özellikle, eylemsiz hareketin, eğer varsa böyle bir hareket, dairesel olduğu daha olasıdır.

7. Denge Lemma'sı

İtici gücün (impeto) eğimle değiştiğini kabul ettik
[Yani "ağırlık eğimle değişir"]
[Yani "hız" da eğimle değişir.]
Değişik eğimlerde bu itici gücün değişme oranları nedir?
AF eğik düzlemi ve FC yüksekliği verilmiş.
FC dikeyinde ağır cismin itici gücü ve düşme momenti en fazladır.
Bu aynı hareketlinin FA eğik düzlemi üzerindeki oranını arıyoruz
Bu oran bahsedilen uzunlukların tersidir:\[\frac{H}{G}=\frac{FC}{FA}\]
Burada ters orantı dememizin sebebi şudur: G cismi, A'dan F'ye giderken dikeyde sadece FC kadar yükselir, fakat H cismi, G ye bağlı olduğu için, daha uzun olan FA yolu kadar aşağı iner.
Bir cismin itici gücü (impeto) onu durdurmak için gereken en küçük güç kadardır.
Ölçülen nicelik ağırlık olduğuna göre neden ağırlık demiyoruz da "itici güç" veya "iniş momenti" gibi tanımsız kavramlar kullanıyoruz?
Aynı şeyi sadece ağırlık ile ifade edebiliriz: "Bir ağırlığın ağırlığı onu durdurmak için (statik denge) gereken en küçük ağırlık kadardır." Aynı şeyi söylemiş olduk ama impetüs ve güç gibi tanımsız kelimeler kullanmadık.
G ağırlığı FA eğik düzlemi üzerinde. H ağırlığı FC dikeyi üzerinde asılı.
G ve H cisimleri birbirlerine bağlı oldukları için iniş çıkış mesafeleri aynı olacaktır.
AFC üçgeninde G cismi A'dan F'ye gittiğinde AC ve CF bileşenleri ile yukarı çıkıyor
G yukarı doğru çıkarken CA yatayında yaptığı hareketinde hiçbir direnç göstermiyor.
Galileo yatay üzerinde harekette merkeze yaklaşma veya merkezden uzaklaşma olmadığı için direnç yoktur diyor.
Direnç sadece yukarı çıkma isteğinde vardır.
A'dan F'ye hareket eden ağır cisim G, sadece CF dikeyinde yükselirken direnç gösterir.
Fakat, hafif cisim H, çok daha uzun bir mesafe geçmek zorundadır yani AF mesafesi kadar aşağı iner.
İki cisim birbirlerine bağlı oldukları için iniş çıkış oranları hep aynı kalır.
Denge yani hareketsizlik durumunda bu iki cismin hareket etme istekleri veya hızları (yani hareket edecek olsalar aynı zamanlarda geçecekleri mesafeler) ağırlıkların (gravità) tersi olacaktır [Galileo burada H ve G'ye ağırlık diyor, yani impetus veya moment demiyor].
Yani, \[\frac{H}{G}=\frac{FC}{FA}\]
Burada ters orantı var çünkü G cismi A'dan F'ye çıkarken sadece kısa FC yolunu geçiyor fakat H cismi uzun FA yolunu iniyor
H'yi de ayırabiliriz:\[H=G\cdot \frac{FC}{FA}\] \(FC/FA = \sin(\theta)\) olduğuna göre, dengeyi sağlamak için, H ağırlığı G ağırlığından \(G\cdot \sin(\theta)\) kadar daha hafif olmalıdır.
Ağır cisim H ile ağır cisim G'nin oranı, FC'nin FA'ya oranı gibiyse denge oluşacaktır.\[\frac{H}{G}=\frac{FC}{FA}\]
Bu durumda H ve G'nin momentleri [ağırlıkları?] aynı olacaktır ve dengede duracaklardır, yani hareket etmeyeceklerdir.
1. Ağırlıklara moment demesinin bir sebebi de bu olmalı, "ağırlıkları aynı olacak" diyemez, çünkü ağırlıklar aynı değil, başka bir nicelik gerekiyor.
2. Aslında ağırlıklar aynı olmuyor mu? dengede duruyorlar.
3. Dikeydeki ağırlığı "resmi ağırlık" veya "gerçek ağırlık" olarak tanımlamışız.
4. Halbuki, \(H=G\cdot FC/FA\) Bu H G'nin FA eğik düzlemindeki ağırlığı olmuş oluyor. G dikeyde tartıldığında çıkan ağırlık, G eğik düzlemdeyken çıkan ağırlıkla aynı değil. Çünkü cisimlerin ağırlık diye bir özellikleri yok, baksana, eğik düzlemde bile ağırlık değişiyor.
5. Belki burada yoğunluk denmesi gerekir.
6. Yoğunluk dediğimiz de zaten spesifik yoğunluk, yani su birim olarak alınıp ölçülen yoğunluk. Ne ağırlık ne yoğunluk mutlak şeyler değil. Zaten mutlak diye bir şey yok.
7. [Şekilde H ve G'nin momentleri temsil edilmiyorlar ve ağırlık da nicelik olarak gösterilmiyor. H ve G cisimleri resimsel olarak gösteriliyor.]
Galileo yine birçok eşanlamlı kelime kullanarak akılları karıştırıyor: "Bir hareketlinin impetüs'ü, enerjisi, momenti veya hareket etme isteği onu durdurmak için gereken en küçük güçle aynı şeydir." Bütün bu kelimelerin tek bir anlamı mı var? Hayır. İnce de olsa anlam nüansları var. Yukarda yazdığımız gibi, bütün bu kelimeler ve kavramlar (impetus, enerji, moment, hareket etme isteği) "ağırlık" kelimesi ile değiştirilebilir.
Ve daha önce H'nin G'nin hareket etmesini önlediği sonucuna varmıştık
Böylece bütün [statik] momentini FC dikeyi üzerinde uygulayan daha hafif ağırlık H, ağırlık G'nin FA üzerinde kısmi momentinin tam ölçüsü olacaktır
Fakat ağır cisim G'nin tam momentinin ölçüsü G'nin kendisidir çünkü dikeyde düşen bir cismi durdurmak için aynı ağırlıkta başka bir ağırlıkla dengelemek gerekir (iki cisim de hareket etmekte serbest olmalıdır). [Dengelenenler ağırlıktır, moment değil]
Öyleyse G'nin FA eğik düzlemi üzerinde kısmi itici gücü veya kısmi momentinin G'nin en büyük ve tam momentine oranı, H ağırlığının, G ağırlığına oranı gibi olacaktır.
Bu da yükseklik dikey FC ve eğik düzlem FA'nın oranı olacaktır, yani\[\frac{H}{G}=\frac{FC}{FA}\]

H ölçü birimi

Galileo H'yı bir ölçü birimi olarak kullanıp bir kenera bırakıyor
H ağırlığı sadece G'yi tartan bir ağırlıktı.
Galileo "G ağırlığının eğik düzlemdeki gücü nedir?" sorusuna cevap ararken bu gücü ölçecek bir tartı arıyor. Elindeki tartı da H ağırlığı oluyor. (H ağırlığını dikeyde kendisi dengeliyor)
1. ["G ağırlığının eğik düzlemdeki gücü nedir?" Neden "güç" kelimesini kullanıyor? "G ağırlığının eğik düzlemdeki ağırlığı nedir?" desek yeterli olmuyor mu?]
  1. Ağırlık yerçekimi tarafından mı belirleniyor?
  2. Ağırlık cisme ait bir nicelik mi?
  3. Ağırlık ortama göre değişiyor. Cismin içinde bulunduğu ortamın yoğunluğuna göre değişiyor. Bu doğru mu? Değişmiyor galiba.
  4. (ağırlık) ?=? (cismin yoğunluğu)/(ortamın yoğunluğu)
2. G ağırlığını eğik düzlemde tam olarak neyin durdurduğunu buluyor: H ağırlığı
3. Madem H, G'yi eğik düzlemde durdurmaya yetiyor, o halde G'nin eğik düzlemdeki aşağı inme isteği (kısmi momenti) tam olarak H olmalıdır. [Ağırlık işte. Ağırlık yerçekimi tarafından belirleniyorsa ve eğik düzlemde yerçekimi \(G\cdot\sin(\theta)\) ise o zaman cismin ağırlığı eğik düzlemde daha azdır. Çıkan sonuç bu.]

G'yi hem dikeye hem de eğik düzleme koymak

Galileo H'yi aradan çıkarıyor ve sadece G cismine odaklanıyor
Çünkü asıl merak ettiği şey, bir cismin dikeydeki gücü ile eğimdeki gücü arasındaki ilişki [güç kelimesi nereden çıktı? Ağırlık dese yeterli olurmuş.]
1. Dikeyde (FC): G nesnesini düşerken durdurmak için kendisi kadar bir ağırlık, G kadar bir ağırlık, gerekir. (Maksimum moment = G)
  1. [Güç moment oldu]
2. Eğik düzlemde (FA): G cismini eğik düzlemde durdurmak için daha önce bulduğumuz H ağırlığı gerekir. (Kısmi moment = H)

H'ya ne oldu (orantılı yer değiştirme)

Galileo şu orantıyı kuruyor:\[\frac{\text{G'nin eğimdeki momenti}}{\text{G'nin dikeydeki momenti}}=\frac{H}{G}\]
Ve bir önceki adımda \(H/G\) oranının \(FC/FA\) olduğunu göstermiştik:\[\frac{H}{G}=\frac{FC}{FA}\]
H'yi denklemden çıkart:\[\frac{\text{Kısmi moment (Egim)}}{\text{Toplam moment (Dikey)}}=\frac{FC}{FA}\]
Galileo bir adım daha ileri gidiyor ve şöyle diyor:
1. Artık H diye bir ağırlığa ihtiyacım yok. Bir cisim G, bir eğik düzlem üzerindeyse, onun aşağı doğru olan "itici gücü" (momenti) kendi toplam ağırlığının yükseklik/uzunluk, FC/FA, oranı kadardır.
2. Aynı şeyi sadece ağırlık kelimesini kullanarak yazabiliriz. İtici güç, impetüs, moment gibi tanımsız kelimeler kullanmamıza gerek yok:
3. Bir cisim G bir eğik düzlem üzerindeyse, onun eğik düzlemdeki ağırlığı dikeydeki ağırlığının yükseklik/uzunluk oranı ile çarpımı kadardır. Yani,\[G_{egim} = G_{dikey}\cdot\frac{FC}{FA}\] veya\[G_{egim} = G_{dikey}\cdot\sin(\theta)\]

Momentlerin oranı

\[\frac{M_{FA} (\text{küçük})}{M_{FC}(\text{büyük})}=\frac{FC (\text{küçük})}{FA (\text{büyük})}\] Yani, eğik düzlem FA üzerinde moment küçük, dikey FC üzerinde moment fazla. [Yine aynı şey, moment yerine ağırlık diyebiliriz sanki]

9. Perturbed equidistance of ratios

İtalyanca:
- proporzione perturbata
Türkçe:
- Karıştırılmış oranların eşitliği veya
- Bozulmuş oranların eşitliği veya
- Çapraz orantı
Galileo burada Öklid 5.22 ve 5.23'de bahsi geçen "çapraz orantı" kuralını uygulayarak iki eğik düzlem arasında da momentlerin sinüs theta olarak değiştiğini gösteriyor. Yani, dikey FC ve eğim FA yerine iki eğimi, yani FA ve FI eğimlerini alırsak sonuç aynı olur. Dikey/eğim = eğim/eğim.

Çapraz orantı tanımı

İki farklı oran serisini birleştirip aradaki ortak terimi yok ederek dış terimler arasında yeni bir oran kurmak için kullanılır.

İki farklı eğim, tek yükseklik

Aynı dikey yükseklik, FC'ye, sahip iki eğik düzlem olsun FA ve FI
1. FA: Daha uzun ve daha az eğimli
2. FI: Daha kısa ve daha dik
3. FC: Her ikisinin de ulaştığı ortak dikey yükseklik

Birinci oran (FA düzlemi için)

Bir düzlemdeki momentin \(M_{FA}\) dikeydeki momenti \(M_{FC}\) oranı, uzunlukların tersine eşittir:\[\frac{M_{FA}}{M_{FC}}=\frac{FC}{FA}\]

İkinci oran (FI düzlemi için)

\[\frac{M_{FC}}{M_{FI}}=\frac{FI}{FC}\] (Dikey momenti üste aldık)

Proporzione Perturbata (Çapraz orantı)

\[M_{FA} : M_{FC} = FC : FA\]\[M_{FC} : M_{FI} = FI : FC\]Bunları çarpalım:\[\frac{M_{FA}\times \cancel{M_{FC}}}{\cancel{M_{FC}}\times M_{FI}}= \frac{\cancel{FC}\times FI}{FA\times \cancel{FC}}\]\[\frac{M_{FA}}{M_{FI}}=\frac{FI}{FA}\]
Sagredo ne diyor:

Eğer iki düzlemin yüksekliği (FC) aynıysa, bu düzlemler üzerindeki ağırlıkların momentleri, düzlemlerin kendi uzunluklarıyla ters orantılıdır.

[Yani daha önce dikey FC için yazdığımızı FI için yazıyoruz. Yani bu orantının işlemesi için dikey olması gerekmiyor, her eğim için geçerli]

Yani, aynı yükseklik için,
- düzlem ne kadar uzunsa FA üzerindeki moment o kadar küçüktür
- düzlem ne kadar kısaysa FI üzerindeki moment o kadar büyüktür

Neden "perturbed" bozulmuş deniyor?
1. Bu "doğru" (ordered) bir orantı olsaydı, düzlem uzadıkça momentin de artması gerekirdi.
2. Ama burada tam tersi oluyor, uzunluk arttıkça güç "seyreliyor".
3. Galileo'nun dikey yüksekliği (FC) bir "ara durak" gibi kullanıp, iki farklı eğimi birbirleriyle dikey üzerinden kıyaslaması, Sagredo'yu bu "çapraz orantı" (perturbed) mantığına götürüyor
4. Aynı yüksekliğe sahip tüm eğik düzlemlerde, moment [ağırlık?] ile düzlem uzunluğunun çarpımı sabittir:\[M_{FA}\times FA = M_{FI}\times FI = \text{Sabit} (G \times FC)\]
5. (Kaldıraç yasası gibi)
6. (Burası tam açık olmadı)
7. [Gemini açıklık getirdi:
  1. Bu durum aslında Enerjinin Korunumu ilkesinin ilkel bir formudur.
  2. Aynı yükseklikten (FC) bırakılan bir cisim, hangi eğimle inerse insin, en alt noktaya ulaştığında aynı hıza sahip olur.
  3. Yol uzadıkça (eğim azaldıkça) ivme azalır, ama süre uzadığı için sonuç değişmez.
  4. \[M \times L = \text{Sabit}\] ifadesi, modern fizikteki "Kuvvet x Yol = İş" (\(W = F \cdot d\)) prensibine karşılık gelir.
8. Galileo şunu söylüyor:
  1. Yolu na kadar uzatırsan, hareketin şiddetini de o oranda kaybedersin; bu yüzden sonuç (varış hızı) değişmez.

Alternatif gösterim

Galileo, önce dikeyde düşüşle eğimde düşüşü karşılaştırıyor ve \(H = G\cdot FC/FA\) sonucuna varıyor.

En sonunda da Sagredo bir sonuç daha çıkartıyor ve iki eğimi (\(FI\) ve \(FA\)) karşılastırıyor ve sonucun aynı olduğunu söylüyor. Bunun için de Bozulmuş Oranlar tekniğini kullanıyor.

Figure 1: Galileo orijinal şekil - FCI üçgeni içerde

Galileo'nun şeklindeki FCI üçgenini dışa taşıyarak (nasıl olsa yükseklikler ortak) aynı sonuca varabiliriz.

Figure 2: Değiştirilmiş şekil - FCI üçgeni dışarda

Şimdi FIA büyük üçgeni oluştu ve yükseklikleri ortak FCI ve FCA üçgenleri oluştu.

Şimdi bu FI eğimi üzerine K ağırlığın sarkıtalım. Yani şimdi K ağırlığı FI üzerinde, G ağırlığı FA üzerinde ve H ağırlığı da FC üzerinde.

FIC üçgeni için \(H = K\cdot FC/FI\)

FCA üçgeni için \(H = G\cdot FC/FA\)

Bu ikisini eşitleyelim:

\[K\cdot \frac{FC}{FI} = G\cdot \frac{FC}{FA}\]

FC'ler eleniyor.

\[\frac{K}{FI} = \frac{G}{FA}\]

veya

\[K = G\cdot \frac{FI}{FA}\]

Yani, herhangi iki eğim aldığımızda daha dik eğim üzerindeki ağırlık daha düz eğim üzerindeki ağırlıktan kenarların oranı kadar daha az olacaktır. Bu da Galileo'nun sonucu ile aynıdır.