Proposition 1
(Drake: Theorem I is the converse of Archimedes, On Spiral Lines, Prop. 1, whose proof was likewise based on the Eudoxian definition of "same ratio" (Euclid, Elements V, Def. 5).)
If a point move at a uniform rate along any line, and two lengths be taken on it, they will be proportional to the times of
describing them.
Two unequal lengths are taken on a straight line, and two lengths on another straight line representing the times; and
they are proved to be proportional by taking equimultiples of each length and the corresponding time after the manner of Eucl. V. Def. 5.
Gemini tercümesi ve yorumu
Daha önce konuştuğumuz Galileo'nun 1. Teoremi (Stillman Drake'in tercümesindi bahsettiği gibi) Arşimed'in On Spirals, kitabında, birinci Önerme ile aynı. Arşimed'in bu önermesini Türkçe'ye tercüme edebilir misin?
İlginç olarak Arşimed Galileo gibi şekil de çizmiyor, detay da vermiyor, sadece Öklid'in V.5. Tanımını kullandığını söylüyor. Galileo ise Öklid aynı tanımını bire bir kullanıyor fakat isim olarak bahsetmiyor. Bu da ilginç geldi bana.
Bir de Arşimed'in spiral'den konuşurken "düzgün hareket"ten bahsetmesi de ilginç geldi.
Proposition 1
If a point move at a uniform rate along any line, and two lengths be taken on it, they will be proportional to the times of describing them.
Two unequal lengths are taken on a straight line, and two lengths on another straight line representing the times; and they are proved to be proportional by taking equimultiples of each length and the corresponding time after the manner of Eucl. V. Def. 5.
Bu harika bir gözlem! Galileo'nun çalışmalarının, Arşimed'in yüzyıllar önce kullandığı prensiplere bu kadar net bir şekilde dayanması gerçekten de bilim tarihindeki sürekliliği gösteren büyüleyici bir detay.
İşte bahsettiğiniz, Arşimed'in "Spiraller Üzerine" (On Spirals) eserindeki Birinci Önerme (Proposition 1)'nin Türkçe tercümesi:
—
Arşimed'in Spiraller Üzerine - Birinci Önerme
Önerme 1
Bir nokta herhangi bir doğru üzerinde düzgün (uniform) bir hızla hareket ederse, bu doğru üzerinde alınan iki uzunluk, o uzunlukların kat edilme süreleriyle orantılı olacaktır.
—
Kanıtın Özeti
Bir doğru parçasında iki eşit olmayan uzunluk ve başka bir doğru parçasında da bu uzunlukların temsil ettiği süreleri temsil eden iki uzunluk alınır.
Bu uzunlukların ve karşılık gelen sürelerin, Öklid'in Elemanları Kitap V, Tanım 5'teki yönteme uygun olarak, eşit katları alınarak orantılı oldukları kanıtlanır.
—
Gözlemlerinize İlişkin Düşünceler
Yaptığınız yorumlar son derece yerinde ve isabetli. Bu, dönemin matematiksel ispat ve sunum gelenekleri hakkında bize çok şey söylüyor:
- Öklid V.5. Tanımına Açık Referans:
- Arşimed'in bu tanıma açıkça atıf yapması (Eucl. V. Def. 5), matematiksel ispatlarda temel bir aksiyomu veya tanımı kullanırken kaynak gösterme titizliğinin bir göstergesidir. Antik Yunan matematiğinde, kanıtların tamamen aksiyomatik bir temele dayanması esastı.
- Galileo'nun (Stillman Drake'in bahsettiği şekliyle) aynı tanımı kullanıp isim vermemesi ise daha sonraki dönemlerde, Öklid'in prensiplerinin artık temel bilgi sayıldığı ve ispatlama pratiğinin (özellikle fiziksel bağlamlarda) daha akıcı hale geldiği bir döneme geçişi yansıtabilir. Galileo belki de doğrudan fiziksel sonuçlara odaklanarak, her temel adımı referanslandırma zorunluluğunu hissetmemiştir.
- "Düzgün Hareket" (Uniform Rate) Kavramı:
- Arşimed'in "düzgün hareket" (uniform rate) ifadesini kullanması, aslında kinematiğin (hareket bilimi) temelini matematiksel bir kesinlikle atmaktadır. Spirali tanımlamak için bu kavramı kullanması, geometrik şekilleri hareketin bir sonucu olarak görme yeteneğini gösterir. Bu önerme, modern fizikteki sabit hız tanımının temelidir: \(d \propto t\) (yol, zamanla orantılıdır).
- Arşimed, spiralini şu şekilde tanımlar: Bir nokta merkezden dışarı düzgün hızla hareket ederken, kol (çizgi) de etrafında düzgün açısal hızla döner. Bu önerme, bu iki düzgün hareketin temelindeki doğrusal ilişkiyi kurarak, spiralin sonraki tüm özelliklerini kanıtlamak için zemin hazırlar. Galileo'nun bunu alıp fırlatılan cisimlerin hareketine uygulaması, bu prensibin ne kadar evrensel olduğunu gösterir.
Bu iki büyük dehanın, farklı yüzyıllarda olsalar bile, aynı matematiksel temeli kullanması gerçekten de bilimin zamanüstü doğasını ortaya koyuyor.
Arşimed Öklid'den sonra geliyor, peki Öklid'in Elemanlar'ı ile Arşimed arasında ne kadar zaman var?
Bu gerçekten de önemli ve ilginç bir tarihsel sorudur. Bu iki dev ismin eserleri arasındaki zaman dilimini hesaplamak için, yaşam sürelerine ve eserlerinin ortaya çıktığı tahmin edilen tarihlere bakmak gerekir:
- Öklid (Euclid):
- Öklid'in MÖ 330 – MÖ 275 yılları arasında yaşadığı tahmin edilmektedir.
- En ünlü eseri olan "Elemanlar" (Elements), genellikle MÖ 300 civarında, İskenderiye'deki çalışmaları sırasında yayımlanmıştır.
- En ünlü eseri olan "Elemanlar" (Elements), genellikle MÖ 300 civarında, İskenderiye'deki çalışmaları sırasında yayımlanmıştır.
- Arşimed (Archimedes):
- Arşimed'in MÖ 287 – MÖ 212 yılları arasında yaşadığı bilinmektedir.
- Arşimed, Elemanlar'ın yayımlanmasından kısa bir süre sonra doğmuş ve gençliğinde İskenderiye'de eğitim almıştır. Kaynaklar, Arşimed'in Öklid'in geometrisine olan hayranlığını ve Elemanlar'dan çok etkilendiğini belirtir.
Aradaki Zaman Farkı
Öklid'in "Elemanlar" eserinin yayımlanma tarihi (MÖ 300) ile Arşimed'in doğumu (MÖ 287) arasındaki süreye bakarsak:
\[\text{MÖ 300} - \text{MÖ 287} = \mathbf{13 \text{ yıl}}\]
Yani, Arşimed, Öklid'in "Elemanlar" kitabını yayımlamasından sadece yaklaşık 13 yıl sonra doğmuştur.
Bu, Arşimed'in bilimsel çalışmalarını, Öklid'in aksiyomatik sistemi üzerine kurulmuş, henüz çok taze bir matematiksel temelde inşa ettiğini gösterir. Bu yüzden Arşimed'in çalışmalarında Öklid'e bu kadar net atıflar yapması son derece doğaldır, çünkü Öklid'in eserleri onun eğitiminin ve bilimsel çerçevesinin temel taşıydı.
Sonuç olarak, iki büyük dehanın eserleri arasında çok az bir zaman farkı bulunmaktadır; Arşimed, doğrudan Öklid'in yarattığı matematik çağının ilk büyük bilim insanlarından biridir.