‎

[Stillman Drake'in İngilizce çevirisinden chatgpt tarafından Türkçe'ye tercüme edilmiştir]

Galileo, İki Yeni Bilim, Önerme 1, Teorem 1

Çevirmenin notu [Stillman Drake]: Teorem I, Arşimed’in Spiral Çizgiler Üzerine, Önerme 1’inin tersi olup, onun kanıtı da aynı şekilde Eudoxos’un “aynı oran” tanımına (Öklid, Öklid’in Öğeleri, V. Kitap, Tanım 5) dayanmaktadır.

Eğer bir cisim eşit hızla iki mesafe kat ederse, bu mesafeleri almak için geçen zamanlar, mesafelerle aynı orandadır.

Varsayalım ki aynı hızla düzgün biçimde hareket eden bir cisim, \(AB\) ve \(BC\) mesafelerini kat etsin; \(AB\) boyunca hareket süresi \(DE\), \(BC\) boyunca hareket süresi \(EF\) olsun. Şunu söylüyorum: \(AB\) mesafesinin \(BC\) mesafesine oranı, \(DE\) zamanının \(EF\) zamanına oranı ile aynıdır.

\[\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\]

Mesafeleri \(G\) ve \(H\) yönlerine, zamanları da \(I\) ve \(K\) yönlerine doğru uzat.

"Teorem 1 gösterimi"

Figure 1: Teorem 1

\(AG\) üzerinde, her biri \(AB\)’ye eşit olan herhangi sayıda mesafe al, ve \(DI\) üzerinde, her biri \(DE\)’ye eşit olan aynı sayıda süre al.

Yine, \(CH\) üzerinde, her biri \(CB\)’ye eşit olan herhangi bir çoklukta mesafe al, ve \(FK\) üzerinde, her biri \(EF\)’e eşit olan aynı çoklukta süre al.

Böylece \(BG\) mesafesi ve \(EI\) zamanı, alınan çarpma oranına göre, \(BA\) mesafesinin ve \(ED\) zamanının eşkatlıları olacaktır.

Benzer şekilde, \(HB\) mesafesi ve \(KE\) zamanı, aynı çarpma oranında, \(CB\) mesafesi ve \(EF\) zamanının eşkatlıları olacaktır.

[Yani, \(BG = n(BA)\) ve \(EI = n(ED)\)]
[Yani, \(HB = m(CB)\) ve \(KE = m(EF)\)]

Ve madem ki \(DE\), \(AB\) üzerinden hareketin süresidir, \(EI\)’nin bütünü de \(BG\)’nin tümü için hareket süresi olacaktır; çünkü hareketin düzgün olduğu varsayılmıştır ve \(EI\) içinde \(BG\)’deki \(BA\) kadar eşit aralıklar vardır, her biri \(DE\) kadar eşit süreye tekabül eder. Benzer biçimde, \(KE\)’nin de \(HB\) üzerinden hareketin süresi olduğu sonucuna varılır.

Ama hareketin düzgün olduğu varsayıldığına göre, eğer \(GB\) aralığı \(BH\)’ye eşitse, \(IE\) zamanı \(EK\)’ye eşit olacaktır; eğer \(GB\), \(BH\)’den büyükse, \(IE\) de \(EK\)’den büyük olacaktır; küçükse, daha küçük olacaktır.

Öyleyse dört büyüklük vardır: birincisi \(AB\), ikincisi \(BC\), üçüncüsü \(DE\), dördüncüsü \(EF\)’dir. Birinci ve üçüncünün (yani \(AB\) mesafesi/ ile \(DE\) zamanı) eşkatlıları herhangi bir çarpma oranına göre alınmıştır: yani \(IE\) zamanı ile \(GB\) mesafesi. Ve gösterilmiştir ki bunlar, ikincinin ve dördüncünün (yani \(BC\) mesafesi ile \(EF\) zamanı) eşkatlıları olan \(EK\) zamanı ile \(BH\) mesafesine eşittir, onlardan küçüktür veya onlardan büyüktür.

Dolayısıyla birincinin ikincisine (yani \(AB\) mesafesinin \(BC\) mesafesine) oranı, üçüncünün dördüncüye (yani \(DE\) zamanının \(EF\) zamanına) oranı ile aynıdır; kanıtlanması gereken buydu.

Yorum 1

Şekildeki oranlara göre alırsak,

\(AG\)'yi herbiri \(AB\)'ye eşit olan 7 parçaya böl,yani \(m = 7\)
\(DI\)'yı herbiri \(DE\)'ye eşit olan 7 parçaya böl, yani \(m = 7\)
\(CH\)'yı herbiri \(CB\)'ye eşit olan 4 parçaya böl, yani \(n = 4\)
\(FK\)'yı herbiri \(EF\)'ye eşit olan 4 parçaya böl, yani \(n = 4\)

Yani,

\[\frac{BG}{EI}=\frac{m\cdot BA}{m\cdot ED}\]

\[\frac{HB}{KE}=\frac{n\cdot CB}{n\cdot EF}\]

\[ \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \]

Mesafeleri \(G\) ve \(H\) yönlerine, zamanları da \(I\) ve \(K\) yönlerine doğru uzat.

\(AG\) üzerinde, her biri \(AB\)’ye eşit olan herhangi sayıda mesafe al, ve \(DI\) üzerinde, her biri \(DE\)’ye eşit olan aynı sayıda süre al.

Yine, \(CH\) üzerinde, her biri \(CB\)’ye eşit olan herhangi bir çoklukta mesafe al, ve \(FK\) üzerinde, her biri \(EF\)’e eşit olan aynı çoklukta süre al.

Böylece \(BG\) mesafesi ve \(EI\) zamanı, alınan çarpma oranına göre, \(BA\) mesafesinin ve \(ED\) zamanının eşkatlıları olacaktır.

Benzer şekilde, \(HB\) mesafesi ve \(KE\) zamanı, aynı çarpma oranında, \(CB\) mesafesi ve \(EF\) zamanının eşkatlıları olacaktır.

Ve Öklid V.5.Tanım uyarınca, eşkatlıların oranları birbirine eşittir; o halde

\[ \frac{BA}{ED} = \frac{CB}{EF} \]

yani,

\[ \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \]

Yorum 2

Şekildeki oranlara göre alırsak,

\(AG\)’yi her biri \(AB\)’ye eşit olan 7 parçaya böl → \(m = 7\)
\(DI\)’yı her biri \(DE\)’ye eşit olan 7 parçaya böl → \(m = 7\)
\(CH\)’yı her biri \(CB\)’ye eşit olan 4 parçaya böl → \(n = 4\)
\(FK\)’yı her biri \(EF\)’ye eşit olan 4 parçaya böl → \(n = 4\)

Yani,

\[ \frac{BG}{EI} = \frac{m \cdot BA}{m \cdot ED} \]

\[ \frac{HB}{KE} = \frac{n \cdot CB}{n \cdot EF} \]

Soru 1: Neyi ispatlamaya çalışıyoruz?

Bilinen hız formülünden, \(v = s_1/t_1\), mesafenin zamana oranlı olduğunu biliyoruz:

\[s_1 = v\cdot t_1\]
\[s_2 = v\cdot t_2\]

dolayısıyla,

\[\frac{s_1}{s_2} = \frac{t_1}{t_2}\]

yani, eğer hız sabitse,

\[s\propto t\]

Yani tanım icabı zaten geçilen mesafenin zaman süresini oranlı olduğunu biliyoruz.

O zaman, eşitkatları kullanarak neyi ispat etmiş oluyoruz?

chatgpt yanıtı

Haklısın: modern cebir diliyle \(v=s/t\) yazınca iş hemen bitiyor; ama Galileo ile Öklid’in niçin equimultiples kullandığını anlamak, meselenin daha derin (ve tarihsel olarak kritik) tarafını açığa çıkarır. Kısaca ve netçe açıklayayım.

1) Modern (aritmetik) bakış — neden “kolay”?

Eğer hızı sayılarla ve cebirle ifade edebiliyorsak, gerçekten de tek adımda şöyle deriz:

\[ s_1=v\,t_1,\qquad s_2=v\,t_2 \]

ondan

\[ \frac{s_1}{s_2}=\frac{t_1}{t_2}. \]

Bu, rasyonel/gerçel sayı sistemi ve cebirsel işlemler varsayımıyla açıktır.

2) Öklid/Eudoxos bağlamı — ne yoktu ve neden problem var?

Eudoxos/Öklid döneminde “oran”ları ele alış biçimi sayılarla işlemeye değil, geometrik büyüklüklerin karşılaştırılmasına dayanır. O çağda:

Büyüklükler (uzunluk, süre, alan vb.) her zaman birbirinin tam katı olarak karşılaştırılamaz (yani commensurable olmayabilirler; \(\sqrt2\) tipi oranlar vardır).
Gerçek sayı sistemi ve modern kesir/irrasyonel sayı kavramı yoktur; “oran = sayı” demek mümkün değildi.

Bu yüzden oranların eşitliğini \(\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}\) gibi tek satırlık bir eşitlikle tanımlamak problemlidir: o kısa gösterim ne anlama geliyor diye açıkça belirtmek gerekir. Eudoxos’un çözümü: oran eşitliğini equimultiples (eşkatlılar — aynı tam sayıyla genişletilmiş katlar) ile tanımlamak.

3) Equimultiples (eşkatlılar) ne sağlar?

Equimultiples der ki: \(A:B = C:D\) demek, herhangi pozitif tam sayılar \(m,n\) için

\[mA > nB \Rightarrow mC > nD\]
\[mA = nB \Rightarrow mC = nD\]
\[mA < nB \Rightarrow mC < nD\]

Yani her mümkün tam kat karşılaştırmasında sonuç aynı yönde çıkıyor. Bu yöntem:

İrrasyonel veya ölçülemeyen oranları da kapsar,
Oran eşitliğini sayılara değil karşılaştırma davranışına indirger — dolayısıyla daha genel ve güçlüdür.

4) Galileo’nun amacının gerçekte ne olduğu?

Galileo (ve Arşimed’in tersini gösteren kanıtlar) modern formülle aynı matematiksel sonucu hedefliyor: “sabit hız altında mesafeler ve zamanlar orantılıdır.” Ancak Galileo bu sonuca ulaşırken Öklid/Eudoxos mantığını izliyor — yani cebirsel kabul yapmadan, geometrik büyüklükler ve eşkatlılar üzerinden ispat veriyor. Bu iki nedenle önemlidir:

Eğer \(AB\) ile \(DE\) ve \(BC\) ile \(EF\) aralarında rasyonel oran yoksa (yani ölçülebilir tam kat ilişkisi yoksa), cebirsel atlamalar geçerli ve açık olmaz.
Öklid V.5 tanımını kullanarak Galileo, oran eşitliğini genel büyüklükler için sağlam şekilde kurar: eşkatlılar üzerinde her zaman aynı karşılaştırma çıkar.

5) Mantıksal akış — neden eşkatlılarla çelişki aranır?

Öklid usulü ispatlar genelde şöyle kurulur (özdeş mantık Galileo’da uygulanır):

Hedef: \(AB:BC = DE:EF\) olduğunu göstermek.
Farz et ki değil: \(AB:BC \ne DE:EF\). O zaman Öklid V.5 kriterine göre bazı tam sayılar \(m,n\) vardır ki
ya \(m\cdot AB > n\cdot BC\) ama \(m\cdot DE \le n\cdot EF\),
ya da tam tersi bir durum ortaya çıkar. (Yani eşkatlı karşılaştırmalardan çelişkili bir sonuç elde edilir.)

Galileo’nun ek geometrik/fiziksel bilgilerinden (düzgün hareket varsayımı: “her eşit parça mesafe eşit zamanda kat edilir” veya “eşit katlar aynı şekilde orantılı saatlere denk gelir”) hareketle bu çelişkili durumu yok eder: örneğin eğer \(mAB > nBC\) ise hareketin eşitliğine göre \(mDE > nEF\) olmalıydı. Bu çelişki faraziyeyi (oranların eşit olmadığını) çürütür.

Dolayısıyla \(AB : BC = DE : EF\) zorunludur.

Bu adımlar sayılara göndermeden, yalnızca equimultiples karşılaştırmaları ve fiziksel/saydışı geometrik çıkarımla yapılır — yani Öklidci mantıkla tam bir ispat sağlanır.

6) Kısaca: eşkatlılar neyi ispatlıyor?

Modern cebirle ispat “özdeşlik”i gösterir (sayısal varsayımlardan hareketle).
Öklid/Eudoxos yöntemiyle ve Galileo’nun bağlamında eşkatlılarla ispat oran eşitliğinin anlamını kesinleştirir ve bu sonucu tüm büyüklükler (rasyonel veya irrasyonel oranlar dahil) için geçerli kılar.
Yani: eşkatlılar aracılığıyla Galileo, oran eşitliğinin anlamını ve doğruluğunu Öklidci (genel, geometrik) çerçevede sağlamlaştırıyor.

—

Özet (bir-iki cümleyle)

Modern denklem \(s=v t\) ile sonucu hemen yazabilirsiniz; ancak Galileo, Öklidci gelenek içinde, sayıların ve cebirin henüz sağlam temellere oturtulmadığı bir ortamda equimultiples kullanarak oran eşitliğinin bütün geometrik büyüklükler için mutlak biçimde doğru olduğunu gösteriyor — özellikle de ölçülemeyen/irrasyonel oranlar söz konusu olduğunda bu yol zorunlu ve tipiktir.

duzgun-teorem-1-turkce.org